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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 20.05.2006 | | Autor: | lumpi |
| Aufgabe | | Die Menge G(D) der auf einer Teilmenge D von [mm] \IR [/mm] beschränkten Funktionen bilden mit der Supremumsnorm einen Banachraum! |
Hallo zusammen!
Ich hab leider keine Ahnung wie ich das Beweisen soll!:-(
In meinen Büchern kann ich dazu auch keine Tipps finden, vielleicht weiß ja einer von euch wies gehen könnte
gruß
lumpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 20.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ersteinmal eine kleine Erklärung zu der Aufgabenstellung:
> Die Menge G(D) der auf einer Teilmenge D von [mm]\IR[/mm]
> beschränkten Funktionen bilden mit der Supremumsnorm einen
> Banachraum!
Die Menge G(D) ist die Menge aller Funktion von D nach [mm] \IR, [/mm] die beschränkt sind. Ich hab das beim ersten Lesen nämlich flasch verstanden.
> In meinen Büchern kann ich dazu auch keine Tipps finden,
Dann hast du in die falschen Bücher reingeschaut ;)
Ich konnte in dem Buch Analysis I (Herbert Amann, Joachim Escher, Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-6928-0) auf Seite 189 (II.6 Theorem 6.6) einen Beweis für jeden Banachraum (und nicht nur für [mm] \IR, [/mm] wie in der Aufgabe) gefunden.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 20.05.2006 | | Autor: | lumpi |
Hi!
da hab ich wohl wirklich die falschen Bücher!Kannst du vielleicht mal schreiben was dort so steht, denn jetzt ist ja wochenende und ich kann mir das buch nicht besorgen!
wäre super!
gruß lumpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hi,
sorry habe mich eben verklickt meine Antwort sollte eigentlich auf diese Frage bezogen sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Lumpi,
ich habe das Buch zwar nicht, aber ich denke ich kann dir auch so einen Tipp geben.
Gebe dir eine Cauchy-Folge [mm] f_n [/mm] in G(D) vor. Dann weisst du insbesondere, dass für alle x [mm] \in [/mm] D [mm] f_n(x) [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] \IR [/mm] ist und damit konvergiert. Setzt jetzt [mm] f(x):=limf_n(x) [/mm] und zeige, dass f [mm] \in [/mm] G(D) ist und [mm] f_n [/mm] -> f in G(D) mit der Supremumsnorm.
Gruß
Frank
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