Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 16.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei [mm] I\subseteq \IR [/mm] ein kompaktes Intervall positiver Länge und sei k [mm] \in \IN, [/mm] sei [mm] ||f||_{C^k}:=max_{0\le j\le k}||f^{(j)}||_{\infty}
[/mm]
Beh: [mm] (C^k(I) ,||f||_{C^k}) [/mm] ist ein Banachraum |
Hallo allerseits...
Ich befürchte, ich bekomme dieses Semester keinen Fuß mehr in die Analysis, war gerade wieder für einige Zeit im Krankenhaus und werde dann im Anschluss wieder ne ganze Woche fehlen und hinke mit Aufgaben/ Wissen ohnehin schon hinterher. Wäre also in diesem Fall wirklich für jede (aber vor allem ausführliche) Hilfestellungen dankbar...:
Meine Ansätze sind hier insgesamt recht dürftig, vor allem, weil mir noch so viele Sätze/Definitionen aus der Vorlesung fehlen. Es muss aber in die Richtung gehen, dass die Vollständigkeit von C(I) ausgenutzt wird...
Gruß San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Moin San!
> Sei [mm]I\subseteq \IR[/mm] ein kompaktes Intervall positiver Länge
> und sei k [mm]\in \IN,[/mm] sei [mm]||f||_{C^k}:=max_{0\le j\le k}||f^{(j)}||_{\infty}[/mm]
>
> Beh: [mm](C^k(I) ,||f||_{C^k})[/mm] ist ein Banachraum
> Hallo allerseits...
> Ich befürchte, ich bekomme dieses Semester keinen Fuß mehr
> in die Analysis, war gerade wieder für einige Zeit im
> Krankenhaus und werde dann im Anschluss wieder ne ganze
> Woche fehlen und hinke mit Aufgaben/ Wissen ohnehin schon
> hinterher. Wäre also in diesem Fall wirklich für jede (aber
> vor allem ausführliche) Hilfestellungen dankbar...:
>
> Meine Ansätze sind hier insgesamt recht dürftig, vor allem,
> weil mir noch so viele Sätze/Definitionen aus der Vorlesung
> fehlen. Es muss aber in die Richtung gehen, dass die
> Vollständigkeit von C(I) ausgenutzt wird...
Das ist schon ne gute Idee. Das es ueberhaupt eine Norm ist kannst du recht einfach nachrechnen (oder hast du dabei auch Probleme?).
Bentuze erstmal: Ist [mm] $(f_i)_{i\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge bzgl. dieser Metrik, so sind [mm] $(f_i^{(j)})_{i\in\IN}$ [/mm] Cauchy-Folgen in [mm] $(C^0, \norm\bullet\norm_\infty)$ [/mm] bzgl. der normalen Supremumsmetrik, $0
[mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] k$. Damit hast du insbesondere eine Grenzfunktion $f$.
Jetzt benutze ein paar Saetze ueber Vertauschbarkeit von Grenzwert und Differenzierbarkeit bei gleichmaessiger Konvergenz... (Und darueber das der Grenzwert einer glm. konvergenten Folge stetiger Funktionen wieder stetig ist.)
LG Felix
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