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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:15 Mo 25.05.2020 | | Autor: | teskiro |
| Aufgabe | Die Gruppe $G$ operiere auf der endlichen Menge [mm] $\Omega$. [/mm] Dann gilt für [mm] $\omega \in \Omega$
[/mm]
[mm] $\vert [/mm] G: [mm] G_{\omega} \vert [/mm] = [mm] \vert \omega^{G} \vert$ [/mm]
und es gibt ein Vertretersystem [mm] $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n} \in \Omega$, [/mm] so dass
[mm] $\vert \Omega \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert \omega_{i}^{G} \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert [/mm] G : [mm] G_{\omega_{i}} \vert$ [/mm] |
Morgen!
Ich soll die obige Gleichung beweisen. Ich denke, das ist mir ganz gut gelungen, aber ich habe noch Fragen zu meinem Beweis.
Ansatz:
Betrachte die Abbildung [mm] $\beta: G/g_{\omega} \rightarrow \omega^{G}, [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} \mapsto [/mm] g [mm] \* \omega$
[/mm]
Ich möchte zeigen, dass [mm] $\beta$ [/mm] wohldefiniert und bijektiv ist.
Seien $g, h [mm] \in [/mm] G$.
Angenommen, es gelte $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega$.
[/mm]
Durch Äquivalenzumformung erhalten wir
$g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega\quad \vert\quad \* h^{- 1}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] $ [mm] $h^{- 1} \* [/mm] ( g [mm] \* \omega) [/mm] = [mm] h^{- 1} \* [/mm] (h [mm] \* \omega) [/mm] = [mm] (h^{- 1} \cdot [/mm] h) [mm] \* \omega [/mm] = [mm] e_{G} \* \omega [/mm] = [mm] \omega$
[/mm]
Es gilt aber auch [mm] $h^{- 1} \* [/mm] ( g [mm] \* \omega) [/mm] = [mm] (h^{- 1} \cdot [/mm] g ) [mm] \* \omega$.
[/mm]
Also gilt [mm] $(h^{- 1} \cdot [/mm] g ) [mm] \* \omega [/mm] = [mm] \omega$
[/mm]
Es ist $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Leftrightarrow (h^{- 1} \cdot [/mm] g ) [mm] \* \omega [/mm] = [mm] \omega \Leftrightarrow h^{- 1} \cdot [/mm] g [mm] \in G_{\omega} \Leftrightarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$.
[/mm]
Wir haben also $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Leftrightarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$.
[/mm]
Die Rückrichtung $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Leftarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$ [/mm] zeigt die Wohldefiniertheit von [mm] $\beta$.
[/mm]
Die Hinrichtung $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Rightarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$ [/mm] zeigt die Injektivität von [mm] $\beta$.
[/mm]
Die Surjektivität von [mm] $\beta$ [/mm] ist klar, da die Linksnebenklasse $g [mm] \cdot G_{\omega}$ [/mm] ein Urbild von $g [mm] \* \omega \in \omega^{G}$ [/mm] unter [mm] $\beta$ [/mm] ist.
Also ist [mm] $\beta$ [/mm] bijektiv und es gilt [mm] $\vert [/mm] G : [mm] G_{\omega} \vert [/mm] = [mm] \vert \omega^{G} \vert$.
[/mm]
Nun ist [mm] $\Omega$ [/mm] die disjunkte Vereinigung der Bahnen unter $G$.
Wählen wir ein Vertretersystem [mm] $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ [/mm] für die Bahnen (es gibt immer ein Vertretersystem für die Bahnen einer Gruppe, da $G$ mindestens die Bahn [mm] $e^{G} [/mm] = G$ besitzt ), so gilt
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \dot{\bigcup\limits_{i = 1}^{n} \omega_{i}^{G}}$, [/mm] woraus dann die Gleichheit
[mm] $\vert \Omega \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert \omega_{i}^{G} \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert [/mm] G : [mm] G_{\omega_{i}} \vert$ [/mm] folgt.
Stimmt mein Beweis so ? Oder habe ich an einer Stelle nicht ausreichend genug argumentiert ?
Zudem wollte ich noch fragen, ob ein Vertretersystem immer existiert (nicht nur in Bezug auf Bahnen) ?
Dass das Vertretersystem der Bahnen endlich ist, sprich wir haben endlich viele Bahnen, liegt einfach nur daran, dass [mm] $\Omega$ [/mm] endlich ist, oder ?
Wäre [mm] $\Omega$ [/mm] unendlich, dann hätten wir endlich viele Bahnen mit jeweils unendlich vielen Elementen, unendlich viele Bahnen mit jeweils endlich vielen Elementen oder unendlich viele Bahnen mit jeweils unendlich vielen Elementen.
Wenn also [mm] $\Omega$ [/mm] nicht endlich wäre, dann kann das Vertretersystem der Bahnen endlich oder nicht endlich sein. Stimmt das so ?
Freue mich auf eine Antwort!
lg, Tim
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 31.05.2020 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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