Bahnen bei zykl. Permutationen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] n\in [/mm] N, und [mm] a=a_1*a_2*..a_t \in S_n [/mm] ein Produkt von zyklischen Permutationen, diese seien zueinander "fremd" in dem Sinne, dass [mm] a_i [/mm] und [mm] a_j [/mm] keine gemeinsame Ziffer enthalten. Die von a erzeugte Untergruppe
<a> = [mm] \{a^{k}|k \in \IZ\} [/mm] operiert auf X={1,...,n}. Welches sind die Bahnen dieser Aktion?
Kehren Sie diese Beobachtung um. Ist a [mm] \in S_3, [/mm] so lehren die Bahnen der Aktion von <a> auf X, dass und wie man a als Produkt zueinander fremder zyklischer Permutationen schreiben kann. Inwieweit ist diese Zerlegung eindeutig? |
Hi,
ich habe mit dieser Aufgabe noch FOrmulierungsschwierigkeiten.
Also: Diese elementfremden Permutationen ergeben ja multipliziert keine große Veränderung, da keine auf das andere zeigt, ist zB (1 3) * (4 2) einfach (1 3)(4 2).
Wenn ich dies nun auf X anwende, zB auf 1, so erhalte ich ja 3, und dann wieder 1, oder? Bei 2 würde es auf 4 gehen, und dann wieder zurück?
Also im Prinzip enthält die Bahn von x den Zyklus, bei dem x "erwischt" wird?
Und umgekehrt kann ich einfach schreiben, dass man bei den Bahnen direkt die Zyklen ablesen kann. Eindeutig ist das, weil die Zyklenmultiplikation kommutativ? ist, solange man eben "fremd" bleibt - richtig?
Aber wie soll ich das schreiben, so dass das auch mein Korrekteur akzeptiert?
Danke für die Hilfe
Lizzy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mi 23.05.2007 | | Autor: | statler |
Gute Morgen Elisabeth!
> Es sei [mm]n\in[/mm] N, und [mm]a=a_1*a_2*..a_t \in S_n[/mm] ein Produkt von
> zyklischen Permutationen, diese seien zueinander "fremd" in
> dem Sinne, dass [mm]a_i[/mm] und [mm]a_j[/mm] keine gemeinsame Ziffer
> enthalten. Die von a erzeugte Untergruppe
> <a> = [mm]\{a^{k}|k \in \IZ\}[/mm] operiert auf X={1,...,n}. Welches
> sind die Bahnen dieser Aktion?
> Kehren Sie diese Beobachtung um. Ist a [mm]\in S_3,[/mm] so lehren
> die Bahnen der Aktion von <a> auf X, dass und wie man a als
> Produkt zueinander fremder zyklischer Permutationen
> schreiben kann. Inwieweit ist diese Zerlegung eindeutig?
> Also: Diese elementfremden Permutationen ergeben ja
> multipliziert keine große Veränderung, da keine auf das
> andere zeigt, ist zB (1 3) * (4 2) einfach (1 3)(4 2).
> Wenn ich dies nun auf X anwende, zB auf 1, so erhalte ich
> ja 3, und dann wieder 1, oder? Bei 2 würde es auf 4 gehen,
> und dann wieder zurück?
Es gibt auch längee zyklische Permutationen, z. B. (1 2 3 4 5) oder so, je nach X.
> Also im Prinzip enthält die Bahn von x den Zyklus, bei dem
> x "erwischt" wird?
Genau. Die Bahnen sind die Ziffern, die in den einzelnen Zykeln stehen.
> Und umgekehrt kann ich einfach schreiben, dass man bei den
> Bahnen direkt die Zyklen ablesen kann. Eindeutig ist das,
> weil die Zyklenmultiplikation kommutativ? ist, solange man
> eben "fremd" bleibt - richtig?
Hm, wenn ich weiß, daß {1, 2, 3} eine Bahn von a ist, dann könnte a doch = (1 2 3) oder = (1 3 2) sein. Die sind aber verschieden. Klar ist, daß es nur bis auf die Reihenfolge eindeutig sein kann, weil elementfremde Zykeln kommutieren.
> Aber wie soll ich das schreiben, so dass das auch mein
> Korrekteur akzeptiert?
Indem du einfach alles richtig machst, dann hat er keine Chance!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Do 24.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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