B(X)-B(Y)-messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Do 25.04.2019 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede stetige Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y zwischen metrischen Räumen X,Y [mm] \mathcal{B}(X)-\mathcal{B}(Y)-messbar [/mm] ist. |
Ersteinmal: Liege ich damit richtig, dass hier die [mm] Borelsche-\sigma [/mm] Algebra
gemeint ist?
Als Beweis würde ich dann anführen, dass [mm] \mathcal{B}(Y) [/mm] von den offenen Mengen [mm] \mathcal{O}(Y) [/mm] von Y erzeugt wird.
Es sei dazu V [mm] \in \mathcal{O}(Y). [/mm] Wegen der Stetigkeit von
f ist [mm] f^{-1}(V) \in \mathcal{O}(X). [/mm] Und [mm] \mathcal{O}(X) \subseteq \mathcal{B}(X).
[/mm]
Ist die Argumentation richtig und fehlt irgendetwas? Falls die Argumentation falsch ist, wie geht es richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 25.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass jede stetige Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y zwischen
> metrischen Räumen X,Y
> [mm]\mathcal{B}(X)-\mathcal{B}(Y)-messbar[/mm] ist.
> Ersteinmal: Liege ich damit richtig, dass hier die
> [mm]Borelsche-\sigma[/mm] Algebra
> gemeint ist?
Das würde ich vermuten. Du hörst doch die Vorlesung, dort werden Bezeichnungen eingeführt, also solltest Du diese kennen.
>
> Als Beweis würde ich dann anführen, dass [mm]\mathcal{B}(Y)[/mm]
> von den offenen Mengen [mm]\mathcal{O}(Y)[/mm] von Y erzeugt wird.
> Es sei dazu V [mm]\in \mathcal{O}(Y).[/mm] Wegen der Stetigkeit
> von
> f ist [mm]f^{-1}(V) \in \mathcal{O}(X).[/mm] Und [mm]\mathcal{O}(X) \subseteq \mathcal{B}(X).[/mm]
>
> Ist die Argumentation richtig und fehlt irgendetwas?
Es fehlt noch was . Du hast nur gezeigt: ist V offen in Y, so ist $ [mm] f^{-1}(V) \in \mathcal{B}(X). [/mm] $
Zeige dies auch für $V [mm] \in \mathcal{B}(Y).$
[/mm]
> Falls
> die Argumentation falsch ist, wie geht es richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 25.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Der gleiche Vorgang nur anders herum mit der Folgerung, dass [mm] \mathcal{B}(X)-\mathcal{B}(Y)-messbar [/mm] ist? Vermutlich nicht?
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Hiho,
> Der gleiche Vorgang nur anders herum
was soll denn "anders herum" sein?
Ihr hattet bestimmt sowas wie:
Sei $f: [mm] (X,\mathcal{A}) \to (Y,\mathcal{B})$ [/mm] eine Abbildung zwischen zwei meßbaren Räumen und [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] (d.h. [mm] $\sigma(\mathcal{C}) [/mm] = [mm] \mathcal{B}$) [/mm] so gilt:
f ist [mm] $\mathcal{A} [/mm] - [mm] \mathcal{B}$ [/mm] - meßbar, genau dann, wenn [mm] $f^{-1}(C) \in \mathcal{A}$ [/mm] für alle $C [mm] \in \mathcal{C}$
[/mm]
Es reicht also, alle Elemente eines Erzeugers der Bild-Sigma-Algebra zu betrachten anstatt die gesamte Sigma-Algebra.
Falls nicht: Zeige es!
Gruß,
Gono
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