Axiom von Zorn,.... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Was haben eigentlich genau das Axiom von Zorn, dass für kartesische Produkte, das Auswahlaxiom und das Wohlordnungsaxiom gemeinsam. Im Skript steht nur ein Satz dass die Axiome äquivalente Aussagen sind. Wieso?
Axiom von Zorn: Falls jede Kette in einer geordneten Menge(A, <=) eine obere Schranke (in A) hat, so besitzt A (mindestens) ein maximales Element.
Axiom für kartesische Produkte: Sind I und für alle i in A auch [mm] A_{i} [/mm] nichtleere Mengen, so ist auch [mm] X_{i in I} A_{i} [/mm] != [mm] \emptyset
[/mm]
Auswahlaxiom: Kurz: Garantiert bei unendlichen Mengen dass ich mir jeweils aus jeder Menge ein Element rauspicken kann.
Wohlordnungsaxiom: Jede Menge A kann so linear geordnet werden, dass jede nichtleere Teilmenge von A ein kleinstes Element besitzt.
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Nun gut was haben alle gemeinsam??? Zuerst auf den ersten Blick scheinen sie intuitiv klar zu sein. Ja mehr noch ihre Negierung scheint unserer Logik zuerst wirklich zu Wider zu laufen.. Von daher könnte man meinen, dass sie eigentlich schon aus den Grundlegenden Annahmen über Mengen folgen. Cantor hielt den Wohlordnungsatz daher auch für etwas evidentes. Doch die Grundlagenkrise der Mathematik erforderte eine genauere logisch stringente Begründung der Mengenlehre. So entstanden die Zermelo Fraenkelschen Axiome. In diesem Axiomensystem führte Zermelo auch das Auswahlaxiom ein. Wie gesagt, dieses scheint uns evident, doch es führt eben auch zu gewissen Dingen, die dann auch wieder unserer Intuition zu widersprechen scheinen,beispielsweise dem Banach-Tarski-Paradoxon. Vereinfacht besagt es, dass du eine massive Kugel so in kleine Teile zerschneiden kannst, dass wenn du die Teile hinterher wieder geschickt zusammensetzt, zwei massive Kugeln mit dem selben Volumen wie es die Ausgangskugel hatte, entstehen.. Nun konnte Gödel 1937 zeigen, dass das Auswahlaxiom an sich keine Widersprüche in die Axiome des ZF-Systems bringt, also wenn es ohne das Axiom widerspruchsfrei ist, dann bleibt es das auch mit dem Auswahlaxiom. Soweit so gut nur hat diese Geschichte auch einen Haken, Cohen konnte in den 60 igern zeigen, dass das ganze auch für die Verneinung des Auswahlaxioms gilt.
So nun zu deiner Frage: Da leite ich dich einfach mal weiter zu http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=492
ich denke wenn du das mal durchgelesen hast- und das ist wirklich eine lustige und sehr orginelle Einführung, hast du ungefähr eine Ahnung ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für deine Bemühungen und den guten Link.
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