Auton. nichtlineare DGL 1.Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 15.12.2008 | | Autor: | GEWE |
| Aufgabe | AWP: [mm] y'=1+y^{1/2}, [/mm] y(0)=0
Wie lautet/n die explizite(n) Lösungen des AWPs?
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Mir ist klar, dass (mindestens) eine Lösung aufgrund der Stetigkeit von [mm] f(x,y)=1+y^{1/2} [/mm] existiert. Auch klar ist, dass die LP-Bedingung in keiner Umgebung von beliebigen Punkten [mm] (x_{0}, [/mm] 0) erfüllt ist. Theoretisch muss es also mehrere Lösungen geben...Wie berechnet man diese explizit? TdV führt auf das Integral: [mm] \integral_{}^{}{1/(1+ \wurzel{y})dy}. [/mm] Und dann? Da dies eine frühere (mdl.) Prüfungsfrage war. muss es eine (relativ) einfache Antwort geben...
Bem.: Man hat das gleiche "Problem" bei z.B. dem AWP [mm] y'=1+y^{4}, [/mm] y(0)=0, welches hier bereits an früherer Stelle diskutiert und mit TdV & PBZ auch gelöst wurde. Aber für eine knappe Antwort in einer Staatsexamensprüfung ist die Lösung eher ungeeignet, oder?. Hat jmd. vielleicht eine Idee, wie man eine derartige Prüfungsfrage elegant(er)/kürzer beantwortet?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Do 25.12.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
wo liegt das Problem? Das Integral ist durch Substitution einfach zu lösen: Setze [mm] $z:=\sqrt{y}$, [/mm] dann ist [mm] $dz=\frac{dy}{2\sqrt{y}}$, [/mm] also [mm] $2z\cdot [/mm] dz= dy$. Somit:
$ [mm] \int \frac{1}{1+ \wurzel{y}}dy [/mm] = [mm] \int \frac{2z}{1+z}dz [/mm] $.
Jetzt noch partielle Integration (und das Standardintegral [mm] $\int [/mm] ln(ax+b) dx$ ) anwenden.
Gruß, zetamy
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