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Hallo!
Ich hänge an einem eigentlich ganz einfachen (glaube ich) Beweis, und zwar geht es darum, zu zeigen, dass
Aut [mm] (\IR) [/mm] = {id} ist.
sei f [mm] \in Aut(\IR)
[/mm]
ist a [mm] \in \IR [/mm] mit a > 0, dann gibt es ein b [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] b^2 [/mm] =a. folglich ist
f(a) = [mm] f(b^2) [/mm] = f(b)*f(b) = [mm] (f(b))^2 [/mm] > 0 =f(0), sodass durch einen Automorphismus auch die Ordnung in [mm] \IR [/mm] erhalten bleibt:
Sei x >y in [mm] \IR [/mm] => x-y >0 => f(x-y) > f(0) = 0 => f(x)>f(y).
Warum darf ich hier so einfach f anwenden? Kann sich das ">" - Zeichen nicht trotzdem umdrehen?
ind ang, f [mm] \in Aut(\IR) \not= [/mm] id , aber f soll alle Elemente von [mm] \IQ [/mm] festlassen, dh f(r)=r für r aus [mm] \IQ. [/mm] Dann gilt für ein a aus [mm] \IR [/mm] entweder
f(a)> a oder f(a)< a.
In beiden Fällen gibt es eine Zahl r [mm] \in \IQ, [/mm] für die gilt:
f(a)> r > a oder f(a)< r < a
wende nun f auf diese Ungleichungen an:
f(f(a)) > f(r)=r > f(a) oder f(f(a))< f(r) = r < f(a)
Wo ist da jetzt der widerspruch? dass ich zuerst die Gleichung
f(a)> r bzw f(a) < r hatte und nach der Anwendung von f auf
f(a)< r bzw f(a)> r komme?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
lg,
Natalie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 13.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Natalie
> Ich hänge an einem eigentlich ganz einfachen (glaube ich)
> Beweis, und zwar geht es darum, zu zeigen, dass
>
> Aut [mm](\IR) = \{id\}[/mm] ist.
> sei f [mm]\in Aut(\IR)[/mm]
>
> ist a [mm]\in \IR[/mm] mit a > 0, dann gibt es ein b [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]b^2[/mm]
> =a. folglich ist
>
> f(a) = [mm]f(b^2)[/mm] = f(b)*f(b) = [mm](f(b))^2[/mm] > 0 =f(0), sodass
> durch einen Automorphismus auch die Ordnung in [mm]\IR[/mm] erhalten
> bleibt:
>
> Sei x >y in [mm]\IR[/mm] => x-y >0 => f(x-y) > f(0) = 0 =>
> f(x)>f(y).
>
> Warum darf ich hier so einfach f anwenden? Kann sich das
> ">" - Zeichen nicht trotzdem umdrehen?
Im Schritt davor hast du gezeigt: gilt $a > 0$, so gilt auch $f(a) > 0$. Jetzt hast du mit $a := x - y$, dass $a > 0$ ist, also ist auch $f(x - y) = f(a) > 0$.
> ind ang, f [mm]\in Aut(\IR) \not=[/mm] id , aber f soll alle
> Elemente von [mm]\IQ[/mm] festlassen, dh f(r)=r für r aus [mm]\IQ.[/mm] Dann
> gilt für ein a aus [mm]\IR[/mm] entweder
>
> f(a)> a oder f(a)< a.
>
> In beiden Fällen gibt es eine Zahl r [mm]\in \IQ,[/mm] für die
> gilt:
>
> f(a)> r > a oder f(a)< r < a
>
> wende nun f auf diese Ungleichungen an:
>
> f(f(a)) > f(r)=r > f(a) oder f(f(a))< f(r) = r < f(a)
>
> Wo ist da jetzt der widerspruch? dass ich zuerst die
Im einen Fall hast du die Ungleichungen $f(a) > r$ und $r > f(a)$, was ist ein Widerspruch. Oder im anderen Fall, da hast du die Ungleichungen $f(a) < r$ und $r < f(a)$, was ebenfalls ein Widerspruch ist.
> Gleichung
>
> f(a)> r bzw f(a) < r hatte und nach der Anwendung von f auf
>
> f(a)< r bzw f(a)> r komme?
Genau. Und es kann ja nicht sowohl $f(a) > r$ als auch $f(a) < r$ gelten.
LG Felix
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