Automorphismengruppe\oplus\IZ < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Do 07.05.2009 | | Autor: | tanja21 |
| Aufgabe | Man zeige:
Die Automorphismengruppe der n-fachen Summe [mm] \oplus \IZ [/mm] ist isomorph zur "unimodalen" Gruppe [mm] GL_{n} (\IZ [/mm] ) |
Hallo Leute,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Komme bei diese Aufgabe nicht weiter.
Bereite mich auf eine Prüfung in Algebra vor und stehe hierbei vor einem Rätsel.
Habe mir bislang an Hand von Definitionen folgendes überlegt:
Eine Matrix A heisst unimodular, falls sie Matrix invertierbar ist. Also ist det(A) eine Einheit im Ring. Genau wie bei Vektorräumen ist bei freien Moduln ein Homomorphismus festgelegt, wenn man sagt, wohin die Basiselemente abgebildet werden.
Nur wie sieht dieser Homomorphismus aus und was wären hier dieBasiselemente?
MfG
Tanja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Fr 08.05.2009 | | Autor: | statler |
Hallo Tanja!
> Man zeige:
> Die Automorphismengruppe der n-fachen Summe [mm]\oplus \IZ[/mm] ist
> isomorph zur "unimodalen" Gruppe [mm]GL_{n} (\IZ[/mm] )
> Habe mir bislang an Hand von Definitionen folgendes
> überlegt:
>
> Eine Matrix A heisst unimodular, falls sie Matrix
> invertierbar ist. Also ist det(A) eine Einheit im Ring.
> Genau wie bei Vektorräumen ist bei freien Moduln ein
> Homomorphismus festgelegt, wenn man sagt, wohin die
> Basiselemente abgebildet werden.
>
> Nur wie sieht dieser Homomorphismus aus und was wären hier
> dieBasiselemente?
Als Basis kannst du z. B. die 'kanonische' nehmen: (1, 0, ... , 0), ... , (0, ... , 0, 1). Wie bei Vektorräumen sind dann die Bilder der Basisvektoren die Spalten der darstellenden Matrix.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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