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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 10.11.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und X eine Menge auf die G operiert. Für festes
a [mm] \in [/mm] G ist die Zuordnung
[mm] f_a(x) [/mm] = ax
eine Bijektion [mm] f_a: [/mm] X -> X, d.h. [mm] f_a \in [/mm] Aut(X).
Weiterhin de finiert die Abbildung
[mm] \beta(a) [/mm] = [mm] f_a
[/mm]
einen Gruppenhomomorphismus
[mm] \beta: [/mm] G -> Aut(X): |
Hallo Leute,
ich verstehe nicht so ganz, was mir diese Definition sagen soll. Kann mir das jemand anhand einer Beispielaufgabe erklären? Kann mir nämlich nicht vorstellen, wie eine solche Aufgabe aussehen könnte.
Danke schonmal!
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moin,
Nehmen wir mal als Menge $X = [mm] \{1,2,3\}$ [/mm] und als Gruppe $G = [mm] S_3$, [/mm] die Menge aller Permutationen von $X$ - die Operation sollte klar sein.
Als Beispiel nehmen wir uns mal $a = (12) [mm] \in S_3$ [/mm] als die Permutation, die 1,2 vertauscht und 3 fest lässt.
Dann ist also [mm] $f_a(1) [/mm] = 2$, [mm] $f_a(2) [/mm] = 1$, [mm] $f_a(3) [/mm] = 3$ und du glaubst hoffentlich, dass diese Abbildung bijektiv ist.
Der Grund, wieso diese Abbildung immer bijektiv ist, ist dass $G$ eine Gruppe ist und somit [mm] $a^{-1} \in [/mm] G$. Ich behaupte einfach mal [mm] $(f_a)^{-1} [/mm] = [mm] f_{a^{-1}}$.
[/mm]
Somit ist jedes der so gebildeten $f$ invertierbar, also bijektiv.
Nun kannst du natürlich jedem $a [mm] \in [/mm] G$ die Abbildung [mm] $f_a$ [/mm] zuordnen und das mit einer Abbildung tun, die du [mm] $\beta$ [/mm] nennst.
Dass dabei ein Gruppenhomomorphismus rauskommt ist leicht nachzurechnen.
Wenn du lieber Beispiele mit unendlichen Mengen magst so nimm dir für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Gruppe $G = [mm] GL(n,\IR)$ [/mm] und $X = [mm] \IR^n$.
[/mm]
Für ein festes $A [mm] \in GL(n,\IR)$ [/mm] (also eine invertierbare Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$) [/mm] ist dann die Abbildung $x [mm] \mapsto [/mm] Ax$ bijektiv; das sollte für invertierbare Matrizen bereits aus der Linearen Algebra bekannt sein, ist aber im Kern das selbe Prinzip.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:17 So 11.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Der erste Teil ist klar, was ich aber nicht verstehe ist dieses a. Was genau macht das a?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 13.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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