Aut(G) Untergruppe von S_{G} < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe. Die Automorphismengruppe Aut(G) = [mm] \{f: G \to G | f \ ist \ Isomorphismus \} [/mm] ist Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm] S_{G} [/mm] = [mm] \{f: G \to G | f \ ist\ bijektiv\}. [/mm] |
Wir haben in der Vorlesung die Äquivalenz von Bijektivität uns Isomorphie gezeigt. Wieso ist Aut(G) also nur Untergruppe von [mm] S_{G}? [/mm] So wie ich das verstehe sind die beiden doch gleich, oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Do 13.04.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei G eine Gruppe. Die Automorphismengruppe Aut(G) = [mm]\{f: G \to G | f \ ist \ Isomorphismus \}[/mm]
> ist Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm]S_{G}[/mm] = [mm]\{f: G \to G | f \ ist\ bijektiv\}.[/mm]
>
> Wir haben in der Vorlesung die Äquivalenz von Bijektivität
> uns Isomorphie gezeigt.
Vorsicht! Ihr habt die Aequivalenz fuer den Fall gezeigt, dass die Funktion bereits ein Homomorphismus ist! Wenn es einfach eine beliebige Funktion $f : G [mm] \to [/mm] G$ ist, dann impliziert $f$ Isomorphismus sicher, dass $f$ bijektiv ist, aber umgekehrt gilt das im Allgemeinen nicht! (Nimm z.B. eine bijektive Abbildung $f : G [mm] \to [/mm] G$, die das Neutralelement auf irgendein anderes Element abbildet. Falls $|G| > 1$ ist ist dies moeglich. Dann kann $f$ nicht in $Aut(G)$ liegen.)
> Wieso ist Aut(G) also nur
> Untergruppe von [mm]S_{G}?[/mm] So wie ich das verstehe sind die
> beiden doch gleich, oder nicht?
Die beiden sind genau dann gleich, wenn $|G| = 1$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Do 13.04.2006 | | Autor: | madde_dong |
Ich Dummkopf, natürlich! Die Annahme, dass f Homomorphismus sein soll, habe ich in dem Beweis der Äquivalenz glatt überlesen. Ich danke dir!
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