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Hallo,
hab eine Frage zu einer Aufgabe:
Beweisen SIe
a) Aut(G) (Menge der bijektiven Homomorph. von G nach G) bildet itmit der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe
b) Sei G = <g> zyklische Gruppe der Ordnung n. Dann gilt Aut(G) [mm] \cong (\IZ /n\IZ)^{x}
[/mm]
(Hinweis: Zeigen Sie, dass es für alle [mm] \sigma \in [/mm] Aut(G) ein k [mm] \in \IN [/mm] mit ggT(k,n) = 1 und [mm] \sigma [/mm] (g) = [mm] g^{k} [/mm] gibt.)
c) Ist U eine Untergruppe von G = <g> und [mm] \sigma \in [/mm] Aut(G), so ist [mm] \sigma [/mm] (U) = U
Also die a) habe ich erfolgreich bewiesen, dies war einfach nur Gruppenkriterien abklappern.
Die c) habe ich mit HIlfe von b) gelöst (wobei ich b) nicht geschafft habe...):
b)
Sei nun U Untergruppe von G = <g>
=>$ U = [mm] [/mm] = [mm] \{(g^{m})^{k} | k \in \IZ \} [/mm] $ Sei f [mm] \in \sigma [/mm] (U) => f = [mm] \sigma ((g^{m})^{a}) [/mm] mit a [mm] \in \IZ
[/mm]
=> f = [mm] \sigma ((g^{m})^{a}) [/mm] = [mm] (g^{m})^{ak} [/mm] nach HInweis zu b) und weil [mm] \sigma [/mm] Homomorph. also ist f [mm] \in [/mm] U.
Nun andere Inklusion:
Sei f [mm] \in [/mm] U => f = [mm] (g^{m})^{a} [/mm] = [mm] ((g^{k})^{m*k^{-1}})^{a} [/mm] = [mm] \sigma ((g^{m})^{ak^{-1}}) \in \sigma [/mm] (U)
Ich denke, das müsste stimmen, oder?
Allerdings hab ich bei der b) keine Ahnung wie ich das zeigen soll, wäre für jede HIlfe zur b) sehr dankbar!!!
LG
Caro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Fr 30.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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