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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:16 Fr 01.06.2012 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Werten Sie folgende Gleichung aus:
[mm] =\integral_{\Omega}{f^t*g dx}
[/mm]
bezüglich der Gleichungen, die nur an einem Punkte 1 sind und sonst überall 0 (hierbei sind die Punkte des in Dreiecke diskretisierten Gebietes gemeint), aus. |
Ich habe die Aufgabe gelöst komme aber auf falsche Ergebnisse. Leider weiß ich nicht was ich genau falsch gemacht habe. Da es sich nur um Vorzeichenfehler handelt denke ich, dass es an der Orientierung liegt. Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Wir betrachten das Gebiet [mm] \Omega=[0,1]x[0,1]
[/mm]
[mm] \Omega [/mm] wird diskretisiert und die Gleichungen sehen so aus:
[mm] f_{k,l}=\begin{cases}1+(y/h-l) \mbox{ für Dreieck } 1\\1-(x/h-k)+(y/h-l) \mbox{ für Dreieck } 2\\1-(y/h-l) \mbox{ für Dreieck } 3\\1-(x/h-k) \mbox{ für Dreieck } 4\\1+(x/h-k)-(y/h-l) \mbox{ für Dreieck } 5\\1+(x/h-k) \mbox{ für Dreieck } 6\end{cases}
[/mm]
Die sechs Dreiecke sind diejenigen die um den Punkt (kh,lh) drumherum liegen.
Sie haben folglich alle den Eckpunkt (kh,lh) und folgende zwei weitere:
1:((k-1)*h,(l-1)*h),(kh,(l-1)*h)
2:((k+1)*h,kh),(kh,(l-1)*h)
3:((k+1)*h,(l+1)*h),(k+1)*h,lh)
4:((k+1)*h,(l+1)*h),(kh,(l+1)*h)
5:((k-1)*h,lh),(kh,(l+1)*h)
6:((k-1)*h,(l-1)*h),((k-1)*h,lh)
In allen anderen Dreiecken des diskretisierten Gebietes ist die jeweilige Funktion 0.
Da die Funktionen in jedem Dreieck eine andere Vorschrift haben, habe ich für jedes Dreieck das Integral einzeln gelöst.
Zunächst wie ich für <f,f> das Integral berechnet habe: Jeweils ein Integral über x und eines über y mit den folgenden Grenzen
1: [mm] \integral_{(k-1)*h}^{kh}\integral_{(l-1)*h}^{x+(l-k)*h}{f^t*f dydx}
[/mm]
2: [mm] \integral_{(k)*h}^{(k+1)*h}\integral_{x+(l-k-1)*h}^{(l)*h}{f^t*f dydx}
[/mm]
[mm] 3:\integral_{(k)*h}^{(k+1)*h}\integral_{(l)*h}^{x+(l-k)*h}{f^t*f dydx}
[/mm]
[mm] 4:\integral_{(k)*h}^{(k+1)*h}\integral_{x+(l-k)*h}^{(l+1)*h}{f^t*f dydx}
[/mm]
[mm] 5:\integral_{(k-1)*h}^{(k)*h}\integral_{(l)*h}^{x+(l-k+1)*h}{f^t*f dydx}
[/mm]
[mm] 6:\integral_{(k-1)*h}^{(k)*h}\integral_{x+(l-k)*h}^{(l)*h}{f^t*f dydx}
[/mm]
Da kommt dann jeweils [mm] 1/12*h^2 [/mm] raus. Diese summiere ich dann einfach und erhalte [mm] 1/2*h^2.
[/mm]
Dann gibt es natürlich noch andere Funktionen mit denen f ausgewertet werden muss und zwar die folgenden. Für [mm] f_{(k)(l)}:f_{(k+1)(l)},f_{(k-1)(l)},f_{(k)(l+1)},f_{(k)(l-1)},f_{(k+1)(l+1)},f_{(k-1)(l-1)}
[/mm]
Ich zeige dies exemplarisch für [mm] f_{(k+1)(l)}: [/mm] die beiden funktionen sind fast überall null, es gibt nur zwei dreiecke auf denen sie beide nicht null sind, und auf diesen sind sie folgendermaßen definiert (hierbei sind die beiden dreiecke mit den grenzen wie oben angegeben):
[mm] 2:\integral_{(k)*h}^{(k+1)*h}\integral_{x+(l-k-1)*h}^{(l)*h}{[1-(x/h-k)+(y/h-l)]*[1+(x/h-k-1)]dydx}
[/mm]
[mm] 3:\integral_{(k)*h}^{(k+1)*h}\integral_{(l)*h}^{x+(l-k)*h}{[1-(x/h-k)][(x/h-k)-(y/h-l)] dydx}
[/mm]
Hier bekomme ich bei beiden Integralen [mm] 1/24*h^2 [/mm] heraus. Ebenso bei allen anderen Berechnungen (also mit den anderen 5 Funktionen die mit [mm] f_{kl} [/mm] gemeinsame Dreiecke haben in denen sie ungleich null sind.)
Das ist aber wohl falsch. Entweder die funktion mit sich selbst muss negativ sein oder die anderen Werte.
Ich frage mich ob ich die Grenzen richtig gewählt habe, oder ob ich wegen der Orientierung irgenwo ein minus davorschreiben muss.
Ich weiss dass das eine Menge Information ist. Aber vielleicht erkennt jemand auf Anhieb, was ich falsch gemacht habe und kann mir helfen.
Vielen dank im voraus
jumape
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 02.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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