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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Di 19.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab da mal ne Frage bezüglich dem Austauschsatz.
geg. Es sei B = [mm] (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}) [/mm] eine Basis von V und v = [mm] b_{1}
[/mm]
+ [mm] b_{2} [/mm] + [mm] b_{3}, w=b_{1} [/mm] - [mm] b_{4}. [/mm] Finden Sie b',b'' in B, sodaß (b',b'',v,w) eine Basis ist.
Allgemein muss ich also zeigen dass b',b'' , [mm] b_{1},b_{2},b_{3},b_{4} [/mm] sein
können, da ich v und w gegeben habe, welche sich aus den Vektoren der
Basis zusammensetzt.
Im Skript ist so ein ähnliches Bsp. vorgegeben.
Hier wird ganz am Anfang gezeigt dass [mm] (b_{1},v,b_{3},b_{4}) [/mm] wieder eine
Basis bildet.
Wieso weiß ich dass ich v an der Stelle von [mm] b_{2} [/mm] schreiben kann? Sind auch andere Stellen möglich.
Nachher wird gezeigt dass [mm] (b_{1},v,b_{3},w) [/mm] eine Basis bildet und ich hab
meine b',b'' gefunden.
Meine Frage richtet sich also an den Anfang woher ich weiß dass ich meine
v und w's genau an der 2ten und 4ten Stelle platzieren muss?
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Hallo!
Also, ganz allgemein ist doch folgendes bekannt:
Ist $B = [mm] (v_1, \ldots, v_n)$ [/mm] eine Basis eines Vektorraumes $V$ und $E$ ein beliebiges Erzeugendensystem, dann kann ich z.B. [mm] $v_1$ [/mm] aus $B$ fortlassen und finde immer ein Element $e [mm] \in [/mm] E$, womit ich [mm] $v_1$ [/mm] ersetzen kann und wieder eine Basis erhalte. Wieso? Naja, die Menge $B [mm] \backslash \{ v_1 \}$ [/mm] erzeugt eben icht ganz $V$, sonst wäre $B$ ja keine Basis gewesen. Also kann ich nicht jedes Element aus $E$ damit erzeugen, denn $E$ erzeugt ja schon $V$. Wenn ich jetzt ein Element aus $E$ wähle, das nicht von $B [mm] \backslash \{ v_1 \}$ [/mm] erzeugt wird, dann bin ich fertig.
Auf das Beispiel bezogen: die Vektoren $v$ und $w$ sind vorgegeben. Ich betrachte nun die Menge [mm] $\langle [/mm] v,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{ \lambda v + \mu w : \lambda, \mu \in K \}$, [/mm] also die Menge der Vektoren in [mm] $K^4$, [/mm] die von $v$ und $w$ erzeugt werden. Das ist ein 2-dimensionaler Unterraum. Und [mm] $b_2$ [/mm] liegt da z.B. nicht drin. (Siehst Du das?)
Darum kann man die Menge [mm] $\{v,w\} [/mm] $ mit [mm] $b_2$ [/mm] "anreichern" und sie bleibt linear unabhängig.
Und mit [mm] $\{v,w,b_2\}$ [/mm] kann man [mm] $b_4$ [/mm] nicht erreichen, daher kann man diesen dazutun.
Das ist aber im Allgemeinen nicht eindeutig! Man hätte statt [mm] $b_2$ [/mm] ebensogut auch [mm] $b_3$ [/mm] nehmen können. Diese Austauschsätze sind meistens Existenzaussagen, Eindeutigkeit gilt i.A. nicht.
Alles klar? Die Regel ist: suche einen Vektor, der nicht im Erzeugnis liegt und packe den dazu. 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Danke für die ausführlcihe Antwort. Ich hätte da noch ein paar Fragen.
Bei deinem Text kapier ich bis [mm] b_{2} [/mm] liegt da z.b. nicht drinnen alles
Aber dass ist leider das Entscheidende:).
v = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] + [mm] b_{3}
[/mm]
w = [mm] b_{1} [/mm] - [mm] b_{4}
[/mm]
Warum liegt [mm] b_{2} [/mm] nicht drinnen? Es liegt doch in v?
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Hallo!
$v$ hat in der Tat einen [mm] $b_2$-Anteil. [/mm] Aber grundsätzlich kann [mm] $b_2$ [/mm] nicht in $v$ liegen, da $v$ kein Vektorraum, sondern nur ein Element davon ist.
Entscheidend ist, dass es keine Linearkombination von $v$ und $w$ gibt, die [mm] $b_2$ [/mm] ergibt. Denn [mm] $\alpha [/mm] v + [mm] \beta w=(\alpha+\beta)b_1+\alpha b_2+\alpha b_3-\beta b_4$. [/mm] Und das wäre nur dann gleich [mm] $b_2$, [/mm] wenn [mm] $(\alpha+\beta)b_1+(\alpha-1) b_2+\alpha b_3-\beta b_4=0$. [/mm] Das get aber nicht, weil [mm] $b_1,b_2,b_3,b_4$ [/mm] linear unabhängig sind.
Also ist [mm] $b_2$ [/mm] linear unabhängig von $v$ und $w$.
Hilft dir das ein bisschen weiter? Ich hoffe, es ist jetzt klarer...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...also kann ich eh alles nehmen: [mm] b_{1},b_{2},b_{3},b_{4} [/mm]
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Genau!
Im zweiten Schritt bist du dann allerdings von deiner ersten Wahl abhängig...
Gruß, banachella
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