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Forum "Aussagenlogik" - Aussagenlogischer Ausdruck
Aussagenlogischer Ausdruck < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aussagenlogischer Ausdruck: Tipp / Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Mo 21.11.2011
Autor: Boing

Aufgabe
Gesucht ist ein aussagenlogischer Ausdruck, der äquivalent ist zu:
    (z <--> (x <--> negation y)) <--> y und x

Es dürfen aber nur [ negation, oder, und ] als Operatoren genutzt werden.

Mein Ansatz ist dieser hier:

(z und (x und y)) oder negation y und (y und x) oder negation x und (x und y)

Doch stimmt dies bei der Belegung:
x True, y False, z False nicht überrein...

Hatte auch schon ansätze wo dann bei der Belegung alles "false" nicht äuqivalent war. Ich bitte um Hilfe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Aussagenlogischer Ausdruck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Mo 21.11.2011
Autor: wieschoo

hi,
> Gesucht ist ein aussagenlogischer Ausdruck, der äquivalent
> ist zu:
>      (z <--> (x <--> negation y)) <--> y und x

>  
> Es dürfen aber nur [ negation, oder, und ] als Operatoren
> genutzt werden.

Mit anderen Worten: Du suchst soetwas, wie die Konjunktive Normalform oder Disjunktive Normalform.

>  Mein Ansatz ist dieser hier:
>  
> (z und (x und y)) oder negation y und (y und x) oder
> negation x und (x und y)
>  
> Doch stimmt dies bei der Belegung:
>  x True, y False, z False nicht überrein...

Hast du es suksessive umgeformt
[mm]x\gdw y[/mm] wird zu [mm](\neg x \vee y) \wedge (\neg y \vee x)[/mm]

Damit wird doch aus
[mm]\blue{(z\gdw (x\gdw \neg y))}\gdw \red{y\wedge x}[/mm]
folgendes
[mm](\neg \blue{(z\gdw (x\gdw \neg y))} \vee \red{(y\wedge x)})\wedge (\neg \red{(y\wedge x)}\vee \blue{(z\gdw (x\gdw \neg y))}) [/mm]

Das [mm]x\gdw \neg y[/mm] lässt sich zu [mm] (x\vee y) \wedge (\neg x \vee \neg y))[/mm] auflösen

Ich erhalte soetwas wie
[mm](\overline{y} \vee \overline{z} \vee \overline{x}) \wedge (\overline{y} \vee z \vee \overline{x}) \wedge (z \vee y \vee x) \wedge (\overline{y} \vee \overline{z} \vee x)[/mm]

Bezug
                
Bezug
Aussagenlogischer Ausdruck: Wahrheitstabelle
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:19 Mo 21.11.2011
Autor: Boing

Die Umformung hab ich gesucht, danke. Doch wenn ich eine Wahrheitstabelle mache kommt bei mir 1 Fehler.

Wenn x,y,z = False dann kommt bei der Aufgabenstellung "False" auch raus, doch bei deiner Lösung kommt True raus.

Bezug
                        
Bezug
Aussagenlogischer Ausdruck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Mo 21.11.2011
Autor: wieschoo

Kommt halt drauf an, ob man Klammern auf der rechten Seite setzt oder nicht
[mm]\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c|c|}\mathbf{A}&\mathbf{B}&\mathbf{C}&\mathbf{\overline{C}}&\mathbf{C \wedge A}&\mathbf{B\Leftrightarrow \overline{C}}&\mathbf{A\Leftrightarrow (B\Leftrightarrow \overline{C})}&\mathbf{\color{blue}(A\Leftrightarrow (B\Leftrightarrow \overline{C}))\Leftrightarrow (C \wedge A)\color{black}}\\ \hline w&w&w&f&w&f&f&\mathbf{f}\\ \hline w&w&f&w&f&w&w&\mathbf{f}\\ \hline w&f&w&f&w&w&w&\mathbf{w}\\ \hline w&f&f&w&f&f&f&\mathbf{w}\\ \hline f&w&w&f&f&f&w&\mathbf{f}\\ \hline f&w&f&w&f&w&f&\mathbf{w}\\ \hline f&f&w&f&f&w&f&\mathbf{w}\\ \hline f&f&f&w&f&f&w&\mathbf{f}\end{array} [/mm]

[mm]\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\mathbf{A}&\mathbf{B}&\mathbf{C}&\mathbf{\overline{B}}&\mathbf{\overline{C}}&\mathbf{\overline{A}}&\mathbf{\overline{B}}&\mathbf{\overline{A}}&\mathbf{\overline{B}}&\mathbf{\overline{C}}&\mathbf{\overline{B} \vee \overline{C}}&\mathbf{\overline{B} \vee C}&\mathbf{C \vee B}&\mathbf{\overline{B} \vee \overline{C}}&\mathbf{\overline{B} \vee \overline{C} \vee \overline{A}}&\mathbf{\overline{B} \vee C \vee \overline{A}}&\mathbf{C \vee B \vee A}&\mathbf{\overline{B} \vee \overline{C} \vee A}&\mathbf{(\overline{B} \vee \overline{C} \vee \overline{A}) \wedge (\overline{B} \vee C \vee \overline{A})}&\mathbf{(C \vee B \vee A) \wedge (\overline{B} \vee \overline{C} \vee A)}&\mathbf{\color{blue}(\overline{B} \vee \overline{C} \vee \overline{A}) \wedge (\overline{B} \vee C \vee \overline{A}) \wedge (C \vee B \vee A) \wedge (\overline{B} \vee \overline{C} \vee A)\color{black}}\\ \hline w&w&w&f&f&f&f&f&f&f&f&w&w&f&f&w&w&w&f&w&\mathbf{f}\\ \hline w&w&f&f&w&f&f&f&f&w&w&f&w&w&w&f&w&w&f&w&\mathbf{f}\\ \hline w&f&w&w&f&f&w&f&w&f&w&w&w&w&w&w&w&w&w&w&\mathbf{w}\\ \hline w&f&f&w&w&f&w&f&w&w&w&w&f&w&w&w&w&w&w&w&\mathbf{w}\\ \hline f&w&w&f&f&w&f&w&f&f&f&w&w&f&w&w&w&f&w&f&\mathbf{f}\\ \hline f&w&f&f&w&w&f&w&f&w&w&f&w&w&w&w&w&w&w&w&\mathbf{w}\\ \hline f&f&w&w&f&w&w&w&w&f&w&w&w&w&w&w&w&w&w&w&\mathbf{w}\\ \hline f&f&f&w&w&w&w&w&w&w&w&w&f&w&w&w&f&w&w&f&\mathbf{f}\end{array} [/mm]



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