Aussagenlogik von Potenzmengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
| Aufgabe | Die Potenzmenge P(X) irgendeiner Menge X ist definiert als die Menge aller Teilmengen von X:
P(X) := [mm] \{Y | Y \mbox{ ist Menge und Y\subseteq X}\}
[/mm]
Seien V und W Mengen. Zeigen Sie:
(i) [mm] V\subset [/mm] W [mm] \Rightarrow P(V)\subset [/mm] P(W)
(ii) [mm] P(V)\cup [/mm] P(W) [mm] \subseteq P(V\cup [/mm] W)
(iii) [mm] V\cap [/mm] W = [mm] \emptyset [/mm] daurausfolgt nicht [mm] P(V)\cap [/mm] P(W) [mm] =\emptyset [/mm] . |
Leider habe ich gar keine Idee wie ich diese Aufgabe lösen könnte. Kann mir da bitte jemand helfen?
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Sa 30.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Die Potenzmenge P(X) irgendeiner Menge X ist definiert als
> die Menge aller Teilmengen von X:
> P(X) := [mm]\{Y | Y \mbox{ ist Menge und Y\subseteq X}\}[/mm]
>
> Seien V und W Mengen. Zeigen Sie:
> (i) [mm]V\subset[/mm] W [mm]\Rightarrow P(V)\subset[/mm] P(W)
> (ii) [mm]P(V)\cup[/mm] P(W) [mm]\subseteq P(V\cup[/mm] W)
> (iii) [mm]V\cap[/mm] W = [mm]\emptyset[/mm] daurausfolgt nicht [mm]P(V)\cap[/mm] P(W)
> [mm]=\emptyset[/mm] .
> Leider habe ich gar keine Idee wie ich diese Aufgabe
> lösen könnte. Kann mir da bitte jemand helfen?
> Danke im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo,
iii) ist einfach. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge und gehört somit sowohl zur Potenzmenge von V als auch zur Potenzmenge von W.
Somit ist der Durchschnitt beider Potenzmengen nicht die leere Menge, sondern eine Menge, deren einziges Element die leere Menge ist.
Das ist ein sehr feiner, aber wichtiger Unterschied.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
Hallo Abakus,
Vielen Dank für deine Antwort. Habe ich das jetzt richtig umgesetzt(?):
P(V) = [mm] \{\emptyset \} [/mm] P(W) = [mm] \{\emptyset \}
[/mm]
[mm] P(V)\cap [/mm] P(W)= [mm] \{\{\emptyset \}\}
[/mm]
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Habe ich das jetzt richtig
> umgesetzt(?):
Nein, nicht so ganz.
Du gehst davon aus, daß Du zwei beliebige Mengen V, W mit
[mm] V\cap W=\emptyset [/mm] hast.
Nun schreibst Du:
> P(V) = [mm]\{\emptyset \}[/mm] P(W) = [mm]\{\emptyset \}[/mm]
Aber wie kommst Du darauf, daß [mm] P(V)\red{=}\{\emptyset\}?
[/mm]
I.a. stimmt das doch nicht.
Richtung wäre: [mm] \emptyset \in [/mm] P(V) und [mm] \emptyset \in [/mm] P(W).
Und wenn [mm] \emptyset [/mm] ein Element sowohl von P(V) als auch von P(W) ist, dann liegt es auch im Schnitt,
dh. Du kannst schreiben [mm] \emptyset \in P(V)\cap [/mm] P(W) oder meinetwegen auch
[mm] \{\emptyset\}\subseteq P(V)\cap [/mm] P(W).
Mach doch mal ein Beispiel! Nimm zwei elementfremde Mengen, z.B.
[mm] V:=\{1\}, W:=\{a,b\},
[/mm]
schreibe die beiden Potenzmengen auf und bestimme ihre Schnittmenge.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 So 31.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
> Mach doch mal ein Beispiel! Nimm zwei elementfremde Mengen,
> z.B.
> [mm]V:=\{1\}, W:=\{a,b\},[/mm]
>
> schreibe die beiden Potenzmengen auf und bestimme ihre
> Schnittmenge.
Hallo Angela,
Ich habe mich mal an dem Beispiel versucht:
[mm]V:=\{1\}, W:=\{a,b\},[/mm]
P(V) [mm] =\{1,\emptyset\} [/mm] und [mm] P(W)=\{a,b,\emptyset\}
[/mm]
[mm] \{1,a,b,\emptyset\}\subseteq P(V)\cap [/mm] P(W)
Ist das so richtig?
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> > Mach doch mal ein Beispiel! Nimm zwei elementfremde Mengen,
> > z.B.
> > [mm]V:=\{1\}, W:=\{a,b\},[/mm]
> >
> > schreibe die beiden Potenzmengen auf und bestimme ihre
> > Schnittmenge.
>
> Hallo Angela,
> Ich habe mich mal an dem Beispiel versucht:
> [mm]V:=\{1\}, W:=\{a,b\},[/mm]
> P(V) [mm]=\{1,\emptyset\}[/mm] und
> [mm]P(W)=\{a,b,\emptyset\}[/mm]
Deine Potenzmengen sind falsch.
Die Elemente der Potenzmenge von V sind die Teilmengen von V.
Schreiben wir die Teilmengen von V auf: [mm] \emptyset, \{1\}.
[/mm]
Diese Mengen sind die Elemente der Potenzmenge, gehören also aufgezählt in Mengenklammern: [mm] P(V)=\{ ... \}
[/mm]
Ebenso für W.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 So 31.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
Also:
[mm] P(V)=\{\emptyset, \{1\}\} [/mm] und [mm] P(W)=\{\emptyset, \{a,b\}\}
[/mm]
[mm] \{\{1\},\{a,b\},\{\emptyset\}\}\subseteq P(V)\cap [/mm] P(W)
Ist es so richtig?
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Hallo Karo,
> Also:
> [mm]P(V)=\{\emptyset, \{1\}\}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und [mm]P(W)=\{\emptyset, \{a,b\}\}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]W[/mm] war doch [mm]W=\{a,b\}[/mm], wenn ich das richtig überblicke.
Dann hat [mm]W[/mm] doch die 4 Teilmengen: [mm]\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}[/mm]
Du hast in [mm]\mathcal{P}(W)[/mm] also die 1-elementigen Teilmengen unterschlagen.
Schreibe [mm]\mathcal{P}(W)[/mm] nochmal hin.
> [mm]\{\{1\},\{a,b\},\{\emptyset\}\}\subseteq P(V)\cap[/mm] P(W)
>
> Ist es so richtig?
?? Nein, auch in deinem (falschen) [mm]\mathcal{P}(W)[/mm] ist [mm]\{1\}[/mm] nicht als Element enthalten, wie kann es da im Schnitt von [mm]\mathcal{P}(V)[/mm] und [mm]\mathcal{P}(W)[/mm] sein ??
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 31.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
Hallo schachuzipus,
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann hab ich für meine Potenzmengen:
P(V) = [mm] \{\emptyset,\{1\}\} [/mm] und P(W) = [mm] \{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}
[/mm]
und für meine Schnittmenge dann:
[mm] \{\{\emptyset\}\} \subseteq P(V)\cap [/mm] P(W)
weil ja nur die Menge der Leerenmenge in beiden Potenzmengen enthalten ist.
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
> Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann hab
> ich für meine Potenzmengen:
> P(V) = [mm]\{\emptyset,\{1\}\}[/mm] und P(W) =
> [mm]\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}[/mm]
Genau!
> und für meine Schnittmenge dann:
> [mm]\{\{\emptyset\}\} \subseteq P(V)\cap[/mm] P(W)
Nein, da ist ein Mengenklammerpaar zuviel!
Es ist [mm]\{\emptyset\}[/mm] nicht als Element in einer der Potenzmengen enthalten, wohl aber [mm]\emptyset[/mm]
Halte immer im Kopf, dass die Elemente in einer Potenzmenge selber wieder Mengen sind ...
Und schaue, was du zeigen willst:
Du willst zeigen: es gibt Mengen [mm]V,W[/mm] mit [mm]V\cap W=\emptyset[/mm], aber [mm]\mathcal{P}(V)\cap\mathcal{P}(W)\neq\emptyset[/mm]
Schreibe das nochmal genau auf.
> weil ja nur die Menge der Leerenmenge in beiden
> Potenzmengen enthalten ist.
Genauer ist die leere Menge (als Element) in beiden Potenzmengen enthalten, also ist der Schnitt [mm]\mathcal{P}(V)\cap\mathcal{P}(W)=\{\emptyset\}[/mm]
Der Schnitt der Potenzmengen ist also eine Menge, die ein Element (die leere Menge) enthält, also nicht-leer.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 So 31.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
Vielen Dank schachuzipus!
Jetzt habe ich es verstanden.
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