Aussagenlogik von Mengen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
| Aufgabe | Seien A,B und C Mengen.
Zeigen Sie, dass gilt:
a) [mm] (A\cup B)\cap [/mm] C = [mm] (A\cap C)\cup (B\cap [/mm] C)
Seien A und B Teilmengen einer Menge M. Zeigen Sie,dass gilt:
b) [mm] M\backslash (A\cup [/mm] B) = [mm] (M\backslash A)\cap (M\backslash [/mm] B)
c) [mm] M\backslash (A\cap [/mm] B) = [mm] (M\backslash [/mm] A) [mm] \cup (M\backslash [/mm] B) |
Leider hatte ich in der Schule nicht so intensiv Mengenlehre und auch keine Beweisführung oder Warheitstabellen. Daher würde ich mich sehr freuen wenn mir jemand einige Ansatzpunkte und Tipps zum Lösen der Aufgabe geben kann.
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Seien A,B und C Mengen.
> Zeigen Sie, dass gilt:
> a) [mm](A\cup B)\cap[/mm] C = [mm](A\cap C)\cup (B\cap[/mm] C)
> Seien A und B Teilmengen einer Menge M. Zeigen Sie,dass
> gilt:
> b) [mm]M\backslash (A\cup[/mm] B) = [mm](M\backslash A)\cap (M\backslash[/mm] B)
> c) [mm]M\backslash (A\cap[/mm] B) = [mm](M\backslash[/mm] A) [mm]\cup (M\backslash[/mm] B)
Hallo,
zunächst ist festzustellen, daß hier die Gleichheit von Menegen zu zeigen ist.
Nach der Def. der Gleichheit von Mengn, welche sicher in der Vorlesung vorkam, ist also zu zeigen, daß jede menge eine Teilmenge der anderen ist, in a) also
[mm] a1)$(A\cup B)\cap$ [/mm] C [mm] \subseteq $(A\cap C)\cup (B\cap$ [/mm] C)
und
a2) [mm] $(A\cap C)\cup (B\cap$ [/mm] C) [mm] \subseteq $(A\cup B)\cap$ [/mm] C
Solche Aussagen zeigt man elementweise, dh. man zeigt
für [mm] a1)x\in $(A\cup B)\cap$ [/mm] C [mm] \Rightarrow x\in $(A\cap C)\cup (B\cap$ [/mm] C)
und
für a2) [mm] x\in $(A\cap C)\cup (B\cap$ [/mm] C) [mm] \Rightarrow x\in $(A\cup B)\cap$ [/mm] C.
Beweis.
a1)
sei [mm] x\in $(A\cup B)\cap$ [/mm] C
==>
[mm] x\in A\cup [/mm] B und [mm] x\in [/mm] C (nach Def. des Schnittes)
==> usw.
Versuch's mal.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 31.10.2010 | | Autor: | Natsu90 |
Hallo Angela,
also wäre der Beweis für a2) dann:
Sei [mm] x\in (A\cap [/mm] C)
[mm] x\in A\cap [/mm] C und [mm] x\in B\cap [/mm] C
Ist das so dann richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Karo,
> Hallo Angela,
> also wäre der Beweis für a2) dann:
> Sei [mm]x\in (A\cap[/mm] C)
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Angela hat dir doch oben hingeschrieben, wie es bei dieser Richtung losgeht?
Das hat sie nicht getan, um dich zu veräppeln, sondern dir einen guten Start zu ermöglichen.
Warum gehst du hier von etwas ganz anderem aus??
Traust du ihr nicht?
Du willst doch zeigen: [mm](A\cap C) \ \cup \ (B\cap C) \ \subseteq \ (A\cup B)\cap C[/mm]
Los geht's damit, dass du dir ein Element aus der Menge linkerhand hernimmst und dann folgerst, dass es in der Menge rechterhand liegt.
Sei also [mm]x\in (A\cap C) \ \cup \ (B\cap C)[/mm]
Soweit hatte Angela dir Starthilfe gegeben.
Wieso setzt du anders an?
Wie dem auch sei, aus der Def. [mm]\cup[/mm] folgt:
[mm]x\in (A\cap C) \ \vee \ x\in (B\cap C)[/mm]
Also [mm](x\in A \wedge x\in C) \ \vee \ (x\in B\wedge x\in C)[/mm] nach Def. [mm]\cap[/mm]
Nun weiter ... bis du auf [mm]x\in (A\cup B)\cap C[/mm] kommst.
> [mm]x\in A\cap[/mm] C und [mm]x\in B\cap[/mm] C
>
> Ist das so dann richtig?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
