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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mi 01.05.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Formen Sie die Ausdrücke mit Hilfe der Distributivgesetze um:
a) [mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B)
b) [mm] \neg [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C
c) (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \to [/mm] B) |
Moin!
ich habe keine Ahnung, wie man hier vorgehen kann!
1. Gibt es eine generelle Vorgehensweise, wie man solche Aussagen vereinfachen kann?
2. a) stünde da A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) <=> A; aber hier steht ja
[mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B)
Wenn ich zur Schnittmenge von A [mm] \cap [/mm] B [mm] \neg [/mm] A hinzufüge, dann erhalte ich m.E. B.
Stimmt das? Wie kann ich das aufschreiben?
3. b) [mm] \neg [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C
Hier würde ich zuerst das [mm] \neg [/mm] verwenden...
( [mm] \neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C
Ist das dann schon die Lösung? Ist das eine Vereinfachung?
???
4. c) (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \to [/mm] B)
Also (A [mm] \to [/mm] B) bedeutet m. E. A impliziert B, d.h. Ergebnis ist doch B oder nicht?
(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] B
Hier würde ich denken, die Schnittmenge von A [mm] \cap [/mm] B vereinigt mit B müsste B ergeben!???
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Formen Sie die Ausdrück emit Hilfe der Distributivgesetze
> um:
>
> a) [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B)
> b) [mm]\neg[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] C
> c) (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
> Moin!
>
> ich habe keine Ahnung, wie man hier vorgehen kann!
kennst Du die Distributivgesetze? Bspw. eines in Worten:
A ist wahr und (B ist wahr oder C ist wahr)
bedeutet das Gleiche wie
(A is wahr und B ist wahr) oder (A ist wahr und C ist wahr).
In Notation etwa
$A [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] C) [mm] \equiv [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge C)\,.$
[/mm]
(Ich weiß nicht, ob ihr für [mm] $\equiv$ [/mm] ein anderes Symbol verwendet?!)
> 1. Gibt es eine generelle Vrogehensweise, wie man solche
> Aussagen vereinfachen kann?
Anwenden der Gesetze halt. Dafür gibt es sie doch!
>
>
> 2. a) stünde da A [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B) <=> A; aber hier
> steht ja
>
> [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B)
>
> Wenn ich zur Schnittmenge von A [mm]\cap[/mm] B [mm]\neg[/mm] A hinzufüge,
> dann erhalte ich m.E. B.
>
> Stimmt das? Wie kann ich das aufschreiben?
Was für eine Schnittmenge? Da stehen Aussagen. Es gilt nach dem Distributivgesetz
[mm] $$\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \equiv (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] A) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B)$$
Nun ist [mm] $\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] A$ für alle Aussagen [mm] $A\,$ [/mm] wahr, also insgesamt
[mm] $$\equiv \neg [/mm] A [mm] \wedge B\,.$$
[/mm]
> 3. b) [mm]\neg[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] C
>
> Hier würde ich zuerst das [mm]\neg[/mm] verwenden...
>
> ( [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] \ neg B) [mm]\wedge[/mm] C
>
> Ist das dann schon die Lösung? Ist das eine Vereinfachung?
Das ist schonmal richtig:
[mm] $$\neg [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C [mm] \equiv (\neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge C\,.$$
[/mm]
Das könnte man so stehenlassen, man kann es auch noch vermittels des
Distributivgesetzes weiterrechnen:
[mm] $$(\neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \vee (\neg [/mm] B [mm] \wedge C)\,.$$
[/mm]
Muss man aber nicht (ich sehe dabei hier gerade keinen Vorteil)!
> 4. c) (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
>
> Also (A [mm]\to[/mm] B) bedeutet m. E.
Das ist per Definitionem so!
> A impliziert B, d.h.
> Ergebnis ist doch B oder nicht?
Du musst schon alles hinschreiben: Erstmal bedeutet $A [mm] \to [/mm] B$ nichts anderes
als [mm] $\neg [/mm] A [mm] \vee B\,.$
[/mm]
Daher
$$(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \to [/mm] B) [mm] \equiv [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \equiv [/mm] (A [mm] \red{\;\vee\;} (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)) [mm] \red{\;\wedge\;} [/mm] (B [mm] \red{\;\vee\;} (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)) [mm] \equiv...$$ [/mm]
[Sorry: Die roten Zeichen hatte ich vorher genau falsch herum stehen;
dumme Verschreiber! P.S. Auch die Korrektur war noch korrekturbedürftig,
aber: ich baue solche Fehler nur extra ein, um zu testen, ob jmd. auch
aufpasst... ja ne, is klar, oder?  ]
Wenn ich mich nich verrechnet habe, kommt am Ende [mm] $\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B$ raus.
Testen wir das mal:
[mm] $\pmat{A & B & A \wedge B & \neg A \vee B &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\overbrace{(A \wedge B) \vee (\neg A \vee B)}^{\equiv (A \wedge B) \vee (A \to B)}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 &|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1}$ [/mm]
Wunderbar: Die dritte Spalte stimmt mit der letzten überein, ich habe mich
daher wohl nicht verrechnet!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Di 29.09.2015 | | Autor: | hase-hh |
Hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen; den ich gerade entdeckt habe!!
> Was für eine Schnittmenge? Da stehen Aussagen. Es gilt nach dem Distributivgesetz
> [mm]\neg A \vee (A \wedge B) \equiv (\neg A \vee A) \wedge (\neg A \vee B)[/mm]
und nicht [mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \equiv (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] A) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B)
> Nun ist [mm]\neg A \vee A[/mm] für alle Aussagen [mm]A\,[/mm] wahr, also insgesamt [mm]\equiv \neg A \vee B\,.[/mm]
und nicht [mm] \equiv \neg [/mm] A [mm] \wedge B\
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 02.05.2013 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
> > 4. c) (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
> >
> > Also (A [mm]\to[/mm] B) bedeutet m. E.
>
> Das ist per Definitionem so!
>
> > A impliziert B, d.h.
> > Ergebnis ist doch B oder nicht?
>
> Du musst schon alles hinschreiben: Erstmal bedeutet [mm]A \to B[/mm]
> nichts anderes
> als [mm]\neg A \vee B\,.[/mm]
>
> Daher
> [mm](A \wedge B) \vee (A \to B) \equiv (A \wedge B) \vee (\neg A \vee B) \equiv (A \red{\;\vee\;} (\neg A \vee B)) \red{\;\wedge\;} (B \red{\;\vee\;} (\neg A \vee B)) \equiv...[/mm]
> [Sorry: Die roten Zeichen hatte ich vorher genau falsch
> herum stehen;
> dumme Verschreiber! P.S. Auch die Korrektur war noch
> korrekturbedürftig,
> aber: ich baue solche Fehler nur extra ein, um zu testen,
> ob jmd. auch
> aufpasst... ja ne, is klar, oder? ]
Ich bin erst heute vormittag dazu gekommen, das Ganze noch einmal zu betrachten... 
Wenn Du mich fragst, Fehler bei logischen Verknüpfungen sind die Fehler, die am häufigsten / schnellsten passieren.
>
> Wenn ich mich nich verrechnet habe, kommt am Ende [mm]\neg A \vee B[/mm]
> raus.
> Testen wir das mal:
>
> [mm]\pmat{A & B & A \wedge B & \neg A \vee B &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\overbrace{(A \wedge B) \vee (\neg A \vee B)}^{\equiv (A \wedge B) \vee (A \to B)}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 &|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1}[/mm]
>
>
> Wunderbar: Die dritte Spalte stimmt mit der letzten
> überein, ich habe mich
> daher wohl nicht verrechnet!
>
> Gruß,
> Marcel
Also
[mm](A \wedge B) \vee (A \to B) \equiv (A \wedge B) \vee (\neg A \vee B) \equiv (A {\;\vee\;} (\neg A \vee B)) {\;\wedge\;} (B {\;\vee\;} (\neg A \vee B)) \equiv...[/mm]
(A [mm] \vee \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) das wäre dann das (ich kanns im Moment nur mit Mengen ausdrücken) Ganze
(B [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \equiv (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)
Wobei ich mich frage, ist [mm] \neg [/mm] A (hier) nicht automatisch B ???
wenn nicht dann müsste ich...
(A [mm] \vee \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \equiv \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Moin!
>
> > > 4. c) (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
> > >
> > > Also (A [mm]\to[/mm] B) bedeutet m. E.
> >
> > Das ist per Definitionem so!
> >
> > > A impliziert B, d.h.
> > > Ergebnis ist doch B oder nicht?
> >
> > Du musst schon alles hinschreiben: Erstmal bedeutet [mm]A \to B[/mm]
> > nichts anderes
> > als [mm]\neg A \vee B\,.[/mm]
> >
> > Daher
> > [mm](A \wedge B) \vee (A \to B) \equiv (A \wedge B) \vee (\neg A \vee B) \equiv (A \red{\;\vee\;} (\neg A \vee B)) \red{\;\wedge\;} (B \red{\;\vee\;} (\neg A \vee B)) \equiv...[/mm]
> > [Sorry: Die roten Zeichen hatte ich vorher genau falsch
> > herum stehen;
> > dumme Verschreiber! P.S. Auch die Korrektur war noch
> > korrekturbedürftig,
> > aber: ich baue solche Fehler nur extra ein, um zu
> testen,
> > ob jmd. auch
> > aufpasst... ja ne, is klar, oder? ]
>
> Ich bin erst heute vormittag dazu gekommen, das Ganze noch
> einmal zu betrachten...
>
> Wenn Du mich fragst, Fehler bei logischen Verknüpfungen
> sind die Fehler, die am häufigsten / schnellsten
> passieren.
Ich muss mir beim Distributivgesetz (in der Logik komischerweise aber auch
nur!) immer wieder klarmachen, dass bei etwa
$$A [mm] \vee [/mm] (B [mm] \wedge [/mm] C)=(A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \vee [/mm] C)$$
das [mm] "$\vee$" [/mm] außerhalb der Klammern auf der rechten Seite innerhalb der Klammern
steht! Ich vertausche das manchmal, und wundere mich über das Ergebnis.
Ich weiß, "Eselsbrücke" $a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$ und dann einfach die Positionen der
Symbole vergleichen...
> >
> > Wenn ich mich nich verrechnet habe, kommt am Ende [mm]\neg A \vee B[/mm]
> > raus.
> > Testen wir das mal:
> >
> > [mm]\pmat{A & B & A \wedge B & \neg A \vee B &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\overbrace{(A \wedge B) \vee (\neg A \vee B)}^{\equiv (A \wedge B) \vee (A \to B)}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 &|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1}[/mm]
> >
> >
> > Wunderbar: Die dritte Spalte stimmt mit der letzten
> > überein, ich habe mich
> > daher wohl nicht verrechnet!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Also
>
> [mm](A \wedge B) \vee (A \to B) \equiv (A \wedge B) \vee (\neg A \vee B) \equiv (A {\;\vee\;} (\neg A \vee B)) {\;\wedge\;} (B {\;\vee\;} (\neg A \vee B)) \equiv...[/mm]
>
>
> (A [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) das wäre dann das (ich kanns im
> Moment nur mit Mengen ausdrücken) Ganze
Du kannst einfach sagen, dass $A [mm] \vee \neg [/mm] A$ immer wahr ist, und damit auch
$A [mm] \vee \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B=(A [mm] \vee \neg [/mm] A) [mm] \red{\;\vee\;} B\,.$
[/mm]
> (B [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\equiv (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)
>
> Wobei ich mich frage, ist [mm]\neg[/mm] A (hier) nicht automatisch B
> ???
Wie kommst Du darauf? Das sind doch getrennte Aussagen! [mm] $A\,$ [/mm] kann den
Wert [mm] $1\,$ [/mm] haben (im Sinne von [mm] "$A\,$ [/mm] (ist wahr)" oder eben [mm] $0\,,$ [/mm] in letzterem
Falle hat [mm] $\neg [/mm] A$ den Wert [mm] $1\,.$
[/mm]
> wenn nicht dann müsste ich...
Ja, das müsstest Du:
> (A [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\equiv \neg[/mm]
> A [mm]\vee[/mm] B
Ich hab's jetzt nicht nachgerechnet, aber das hatte ich gestern auch raus
und es passt zur Wahrheitstafel - wobei, wenn Du Lust hast, dann am
Ende auch wieder [mm] $\equiv [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ schreiben kannst!
Gruß,
Marcel
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