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hallo allerseits 
nach aufgabenstellung soll entschieden werden ob folgende aussage wahr oder falsch ist, das ergebnis soll bewiesen werden:
$ [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] : [mm] 2^{n} \ge n^{2} [/mm] $
ist die aufgabe formal überhaupt in ordnung? es ist nicht klar ob $ n $ auch aus [mm] \IN [/mm] ist, oder?
wenn man von $ n [mm] \in \IN [/mm] $ ausgeht würde ich sagen ist die aussage wahr, aber relativ unsinnig, oder?
um den beweis mache ich mir keine sorgen, aber ist das ansonsten überhaupt entscheidbar?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> nach aufgabenstellung soll entschieden werden ob folgende
> aussage wahr oder falsch ist, das ergebnis soll bewiesen
> werden:
>
> [mm]\exists n_{0} \in \IN \forall n \ge n_{0} : 2^{n} \ge n^{2}[/mm]
>
> ist die aufgabe formal überhaupt in ordnung?
Haengt davon ab wie kleinkariert das korrigiert wird  Normalerweise ist ``offensichtlich'', dass $n$ in diesem Kontext eine natuerliche Zahl bezeichnet. Gaaanz formal muesste man es eigentlich so schreiben: [mm] $\exists n_0 \in \IN \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge n_0 \Rightarrow 2^n \ge n^2$. [/mm] Und evtl. noch ein paar Klammern einfuegen (fuer die Klammerfetischisten)... ;)
> wenn man von [mm]n \in \IN[/mm] ausgeht würde ich sagen ist die
> aussage wahr, aber relativ unsinnig, oder?
Sie ist wahr. Aber wieso sollte sie unsinnig sein?
Die Aussage ist uebrigens auch wahr, wenn $n$ eine beliebige komplexe Zahl sein darf. Da $n [mm] \ge n_0$ [/mm] ist muss (per Definition von [mm] $\ge$) [/mm] bereits $n [mm] \in \IR$ [/mm] sein, und fuer gross genuge reelle Zahlen ist die Aussage auch wahr.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> >> ist die aufgabe formal überhaupt in ordnung?
>
> > Haengt davon ab wie kleinkariert das korrigiert wird
>
> okay! ich bin immer davon ausgegangen das die aufgaben auf
> den aufgabenblättern besonders kleinkariert gestellt
> werden, damit wir studis lernen wie es gemacht werden
> sollte
Prinzipiell ja. Es gibt allerdings gewisse abkuerzungen, die man einfach macht, damit es nicht zu unnoetig kompliziert wird. Wenn du zum Beispiel schreibst `blabla daraus folgt [mm] $x^2 [/mm] = 4 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 2$', dann musst du eigentlich dran denken dass [mm] `$x^2 [/mm] = 4 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 2$' eine Tautologie ist und immer gilt, und du damit eigentlich nichts neues anfangen kannst. Die Aussage [mm] $x^2 [/mm] = 4 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = [mm] \pm [/mm] 2$ hat (so gut wie) nichts mit dem was davor steht zu tun. Aber trotzdem schreibt man sowas, auch in Vorlesungen, auf Aufgabenzetteln,etc., weil es einfach eine `Abkuerzung' ist bei der jeder versteht was gemeint ist (wenn er es denn verstehen will)...
> in einer klausur dürfte ich es aber bemängeln wenn eine
> aufgabe so gestellt wird oder?
Kannst du machen. Allerdings: Wenn $n$ einfach mal als Element angenommen wird, das mit [mm] $n_0$ [/mm] in Relation stehen kann, so ist $n$ eine postitive reelle Zahl, und fuer solche Zahlen gilt die Aussage auch. Insofern kann man auch argumentieren, dass das so schon ok ist.
In ner Klausur wuerd ich einfach nachfragen ob $n [mm] \in \IN$ [/mm] oder $n [mm] \in \IR$ [/mm] gemeint ist...
> >> wenn man von [mm]n \in \IN[/mm] ausgeht würde ich sagen ist die
> >> aussage wahr, aber relativ unsinnig, oder?
>
> >Sie ist wahr. Aber wieso sollte sie unsinnig sein?
>
> [mm]\exists n_0 \in \IN \forall n \in \IN : n \ge n_0 \Rightarrow 2^n \ge n^2[/mm]
>
> mit unsinnig meinte ich nur... hm, vielleicht verstehe ich
> die aussage auch falsch...
> aber für n = 3 stimmt die aussage nicht... oder?
Ja, aber spaetestens ab $n = 4$ stimmt sie immer.
LG Felix
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okay, danke dir soweit schonmal!
zwei unklarheiten habe ich noch:
1. ich verstehe die aussage $ [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] : [mm] 2^{n} \ge n^{2} [/mm] $ insofern nicht, als das der erste teil $ [mm] \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] : $ ja eigentlich keinen direkten bezug zu $ [mm] 2^{n} \ge n^{2} [/mm] $ hat. das $ [mm] n_{0} [/mm] $ taucht im zweiten teil nicht auf...
2. wenn die aussage für n = 3 falsch ist, dann ist sie doch insgesamt falsch, oder? die aufgabe war so gestellt das wir entscheiden müssen ob die aussage allgemein war oder falsch ist. die 3 wird vom "wertebereich" ja nicht ausgeschlossen...
(sorry das ich mich grad etwas dumm anstelle)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zwei unklarheiten habe ich noch:
>
> 1. ich verstehe die aussage [mm]\exists n_{0} \in \IN \forall n \ge n_{0} : 2^{n} \ge n^{2}[/mm]
> insofern nicht, als das der erste teil [mm]\exists n_{0} \in \IN \forall n \ge n_{0} :[/mm]
> ja eigentlich keinen direkten bezug zu [mm]2^{n} \ge n^{2}[/mm] hat.
> das [mm]n_{0}[/mm] taucht im zweiten teil nicht auf...
Er hat einen sehr wichtigen Bezug: Er sagt, dass diese Ungleichung nicht fuer alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] sondern nur fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt, wobei [mm] $n_0$ [/mm] irgendeine natuerliche Zahl ist!
> 2. wenn die aussage für n = 3 falsch ist, dann ist sie doch
> insgesamt falsch, oder?
Die Aussage [mm] `$2^n \ge n^2$' [/mm] ist fuer $n = 3$ falsch. Die Aussage [mm] $\exists n_0 \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] 2^n \ge n^2$ [/mm] ist jedoch richtig, waehle etwa [mm] $n_0 [/mm] = 4$: Fuer alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $2^n \ge n^2$.
[/mm]
> die aufgabe war so gestellt das wir
> entscheiden müssen ob die aussage allgemein war oder falsch
> ist. die 3 wird vom "wertebereich" ja nicht
> ausgeschlossen...
Nein. Du darfst aber die Aussage nicht einfach uminterpretieren, du musst sie schon genauso lesen wie sie da steht: Es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so, dass fuer alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $2^n \ge n^2$.
[/mm]
LG Felix
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jetzt hab ichs verstanden. das war genau die erklärung die ich brauchte, danke dir!
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