Aussagen über Determinanten < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 So 03.07.2005 | | Autor: | abudabu |
Hallo allerseits,
mal ne Frage zu Determinanten. Sind folgende Aussagen richtig?
det(A) = 0 => A * [mm] \vec{x} [/mm] = 0 hat nichttriviale Lösungen und A * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] hat keine oder nicht eindeutige Lösung
det(A) [mm] \not= [/mm] 0 => A * [mm] \vec{x} [/mm] = 0 hat nur den Nullvektor als Lösungen und A * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] hat eindeutige Lösung.
Hab mir das gerade aus mehreren Quellen zusammengesammelt und möchte das gerne noch von "höherer Stelle" abgesegnet
Danke
Ricky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 03.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast fast recht - du musst nur unbedingt dazu schreiben, dass A quadratisch sein soll, denn dann gilt:
A invertierbar $ [mm] \gdw [/mm] $ det(A) nicht 0
für quadratische Matrizen bedeutet invertierbrakeit ja bijektive Abbildung, also insbesondere injektiv (Kern ist trivial) und surjektiv (für jedes b gibt es... (eindeutigkeit folgt wegen injektivität) )
wenn eine Matrix nicht invertierbar ist, kann sie nicht bijektiv sein, also im quadratischen Fall nicht injektiv (dann folgt : nicht surjektiv) oder andersrum.
Also, zusammenfassend : deine Aussagen stimmen für lineare abbildung zwischen gleichdimensionalen Räumen (die ja durch die quadratischen Matrizen darstellbar sind und umgekehrt.)
viele Grüße
DaMenge
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