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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Do 22.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Wahr oder falsch (mit Gegenbeispiel) ?
a, Die Vektoren b, die nicht im Spaltenraum C(A) liegen, bilden einen Unterraum.
b, Wenn C(A) nur aus dem Nullvektor besteht, ist A die Nullmatrix.
c, C(2A) = C(A).
d, C(A-I) = C(A). |
Hallo,
a,
Darauf habe ich keine Antwort. Die drei Bedingungen für einen Unterraum U wären:
Nullvektor: 0 $ [mm] \in [/mm] $ U
Addition: u, v $ [mm] \in [/mm] $ U mit u+v $ [mm] \in [/mm] $ U
Multiplikation: $ [mm] \lambda \in \IR, [/mm] $ v $ [mm] \in [/mm] $ U mit $ [mm] \lambda [/mm] $ v $ [mm] \in [/mm] $ U
Vermutung: FALSCH
b,
WAHR
c,
WAHR, Skalare Multiplikation ändert nichts an den Eigenschaften, nur ein Vielfaches von C(A).
d,
FALSCH
Gegenbeispiel: A = [mm] \begin{bmatrix}
2 & 0 \\
1 & 5 \\
\end{bmatrix}, [/mm] C(A) = [mm] <\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}>
[/mm]
A-I = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 5 \\
\end{bmatrix}, [/mm] C(A-I) = [mm] <\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}>
[/mm]
Es ist zwar [mm] \bruch{5}{4}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}, [/mm] jedoch
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Gruß
itse
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> Wahr oder falsch (mit Gegenbeispiel) ?
>
> a, Die Vektoren b, die nicht im Spaltenraum C(A) liegen,
> bilden einen Unterraum.
>
> b, Wenn C(A) nur aus dem Nullvektor besteht, ist A die
> Nullmatrix.
>
> c, C(2A) = C(A).
>
> d, C(A-I) = C(A).
> Hallo,
>
> a,
>
> Darauf habe ich keine Antwort. Die drei Bedingungen für
> einen Unterraum U wären:
>
> Nullvektor: 0 [mm]\in[/mm] U
Hallo,
damit bist Du schon bei des Pudels Kern.
Die Spalten der Matrix spannen einen Unterraum auf. Es gibt einen wichtigen Vektor, der in jedem Unterraum liegt.
Und der liegt dann natürlich nicht in der Menge der vektoren, die nicht im Spaltenraum liegen.
> Addition: u, v [mm]\in[/mm] U mit u+v [mm]\in[/mm] U
> Multiplikation: [mm]\lambda \in \IR,[/mm] v [mm]\in[/mm] U mit [mm]\lambda[/mm] v [mm]\in[/mm]
> U
>
> Vermutung: FALSCH
>
> b,
>
> WAHR
Ja.
>
> c,
>
> WAHR, Skalare Multiplikation ändert nichts an den
> Eigenschaften, nur ein Vielfaches von C(A).
Ja. In den Spalten hätte man jeweils das 2-fache der Spalten von A.
Man kann mit diesen Vektoren dieselben erzeugen wie mit denen von A.
>
> d,
>
> FALSCH
Das stimmt, aber Dein Gegenbeispiel ist nicht gut.
Denn in Deinem Gegenbeispiel ist der erzeugte Raum doch beide Male gleich, nämlich der [mm] \IR^2.
[/mm]
Die Spalten bilden doch jedesmal eine Basis.
Arbeite Dein Gegenbeispiel so um, daß es wirklich eines ist.
Gruß v. Angela
>
> Gegenbeispiel: A = [mm]\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
1 & 5 \\
\end{bmatrix},[/mm] C(A) =
> [mm]<\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}>[/mm]
>
> A-I = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 4\\
\end{bmatrix},[/mm] C(A-I) =
> [mm]<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}>[/mm]
>
> Es ist zwar [mm]\bruch{5}{4}\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix},[/mm] jedoch
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Gruß
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 23.10.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> damit bist Du schon bei des Pudels Kern.
> Die Spalten der Matrix spannen einen Unterraum auf. Es
> gibt einen wichtigen Vektor, der in jedem Unterraum liegt.
> Und der liegt dann natürlich nicht in der Menge der
> vektoren, die nicht im Spaltenraum liegen.
Gegenbeispiel wäre somit jede Matrix, auch die Nullmatrix, diese enthält als Spaltenraum den Nullvektor.
Oder?
> > d,
> >
> > FALSCH
>
> Das stimmt, aber Dein Gegenbeispiel ist nicht gut.
> Denn in Deinem Gegenbeispiel ist der erzeugte Raum doch
> beide Male gleich, nämlich der [mm]\IR^2.[/mm]
> Die Spalten bilden doch jedesmal eine Basis.
>
> Arbeite Dein Gegenbeispiel so um, daß es wirklich eines
> ist.
Gegenbeispiel: A = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
[/mm]
C(A) = [mm] <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}> [/mm] (kompletter Raum [mm] \IR^2)
[/mm]
A-I = [mm]\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\\
\end{bmatrix},[/mm]
C(A-I) = [mm] <\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}> [/mm] beinhaltet nur noch den Nullvektor, dieser ist für sich gesehen, selbst ein Unterraum
Eine Linearkombination des Spaltenraumes C(A) wäre: [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}, [/mm] dies ist aber keine Element von C(A-I).
Dies müsste doch nun ein gutes Gegenbeispiel sein?
Würde es noch andere geben?
Vielen Dank
itse
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> Hallo,
>
> > damit bist Du schon bei des Pudels Kern.
> > Die Spalten der Matrix spannen einen Unterraum auf. Es
> > gibt einen wichtigen Vektor, der in jedem Unterraum liegt.
> > Und der liegt dann natürlich nicht in der Menge der
> > vektoren, die nicht im Spaltenraum liegen.
>
> Gegenbeispiel wäre somit jede Matrix, auch die Nullmatrix,
> diese enthält als Spaltenraum den Nullvektor.
>
> Oder?
Hallo,
ja, dadurch daß der Nullvektor in der besagten Menge fehlt, ist jegliche Hoffnung auf "VR" vergebens.
>
> > > d,
> > >
> > > FALSCH
> >
> > Das stimmt, aber Dein Gegenbeispiel ist nicht gut.
> > Denn in Deinem Gegenbeispiel ist der erzeugte Raum doch
> > beide Male gleich, nämlich der [mm]\IR^2.[/mm]
> > Die Spalten bilden doch jedesmal eine Basis.
> >
> > Arbeite Dein Gegenbeispiel so um, daß es wirklich eines
> > ist.
>
> Gegenbeispiel: A = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}[/mm]
>
> C(A) = [mm]<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}>[/mm]
> (kompletter Raum [mm]\IR^2)[/mm]
>
>
> A-I = [mm]\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0\\
\end{bmatrix},[/mm]
>
> C(A-I) = [mm]<\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}>[/mm] beinhaltet
> nur noch den Nullvektor, dieser ist für sich gesehen,
> selbst ein Unterraum
>
> Eine Linearkombination des Spaltenraumes C(A) wäre:
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix},[/mm] dies ist aber keine
> Element von C(A-I).
>
> Dies müsste doch nun ein gutes Gegenbeispiel sein?
>
> Würde es noch andere geben?
Ja, viele.
Z.B. [mm] \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4\\
\end{bmatrix}
[/mm]
Gruß v. Angela
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