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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 11.11.2007 | | Autor: | damien_ |
| Aufgabe | Überprüfen Sie ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
a) [mm] \forall [/mm] x >0 : [mm] x^2 [/mm] - 3x [mm] \ge [/mm] 0
b) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IN: [/mm] (x-1) [mm] \in \IN
[/mm]
c) [mm] \forall [/mm] x [mm] \IQ :(x^2 [/mm] - x) [mm] \in \IQ
[/mm]
d) [mm] \forall [/mm] A [mm] \exists [/mm] B: A [mm] \cap [/mm] B = {} |
Hallo,
da ich mit beweisen noch nicht so zurecht komme wollte ich meine bisherigen ergebnisse bzw. die letzten beiden angaben hier mal erfragen
a) ich habe mir mit der pq-formel die beiden lösungen( 0 und 3) ausgrechnet und sie dann eingesetzt
da 0 [mm] \ge [/mm] 0 und 0 [mm] \ge [/mm] 0 beides wahr sind ist auch die aussage wahr
b) mit einem indirektem Beweis
es muss ein x geben für dass die aussage nicht zutrifft.
dh nicht( x-1 [mm] \in \IN)
[/mm]
dann hab ich gefolgert wenn x-1 ein element von [mm] \IN [/mm] größer als 0 sein muss
x -1 = 0 bekomm ich als Lösung x=1
dh NICHT(1 - 1 > 0) -> NICHT(0 > 0) -> wA
es gibt ein x (0) für das diese Aussage nicht zutrifft
c)mir fehlt hier jeglicher ansatz
d) mir ist klar dass A und B äquivalent sein müssen um diese Aussage zu erfüllen aber wie soll ich das anschreiben
Danke, fg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> a) ich habe mir mit der pq-formel die beiden lösungen( 0 und 3) ausgrechnet und sie dann eingesetzt
> da 0 [mm] \ge [/mm] 0 und 0 [mm] \ge [/mm] 0 beides wahr sind ist auch die aussage wahr
Damit hast du mehr oder weniger das Gegenteil gezeigt. Da diese Parabel nach oben offen ist und zwei verschiedene Nullstellen existieren, muss der Scheitelpunkt irgendwo unterhalb der x-Achse liegen.
Nimm einfach eine Zahl zwischen 0 und 3, z.B. 1 und setze sie ein:
$f(1) = 1 - 3 = -2 < 0$
Also ist die Aussage falsch!
> b) mit einem indirektem Beweis
> es muss ein x geben für dass die aussage nicht zutrifft.
Da würde ich auch einfach ein (das einzige) Gegenbeispiel nehmen.
Wir können aber auch nachrechnen: Nehmen wir an, die natürlichen Zahlen enthalten die Null, dann gilt ja für alle natürlichen Zahlen $n$:
[mm] $n\ge{}0$
[/mm]
Wir vermuten, dass es aber Zahlen gibt, für die unsere Aussage nicht gilt, also:
$n-1 < 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] n < 1$
Also wäre die 0 unser Übeltäter.
Analog funktioniert es, wenn man die natürlichen Zahlen ohne Null definiert. Dann ist die 1 der Übeltäter.
> c)mir fehlt hier jeglicher ansatz
Hier brauchen wir schon das Vorwissen, dass Multiplikation und Subtraktion (bzw. Addition) in [mm] $\IQ$ [/mm] abgeschlossen sind. Damit ist auch die Verknüpfung solcher Operationen in [mm] $\IQ$ [/mm] abgeschlossen.
> d) mir ist klar dass A und B äquivalent sein müssen um diese Aussage zu erfüllen aber wie soll ich das anschreiben
Wieso äquivalent? Sie sollen doch möglichst unterschiedlich sein (bis auf einen Fall).
Du könntest hier versuchen, für jedes mögliche A die entsprechende Menge B zu finden oder ein B finden (sehr einfach!), das für alle A diese Aussage erfüllt.
Womit muss ich eine beliebige Menge schneiden, damit am Ende eine leere Menge herauskommt?
Ganz gleich, für welchen Weg du dich entscheidest, danach gehst du einfach von Definitionen des Mengenschnitts aus.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 12.11.2007 | | Autor: | damien_ |
Danke, für die Antwort.
Ist ein Beweis mittels explizitem Gegenbeispiel immer legitim?
eines ist mir noch nicht klar:
>> Hier brauchen wir schon das Vorwissen, dass Multiplikation und
>> Subtraktion (bzw. Addition) in [mm] \IQ [/mm] abgeschlossen sind. Damit ist auch
>> die Verknüpfung solcher Operationen in [mm] \IQ [/mm] abgeschlossen.
was bedeutet abgeschlossen? bzw. wie beweise ich das oder schreib es an?
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Hallo,
> Ist ein Beweis mittels explizitem Gegenbeispiel immer legitim?
Klar. Wenn du auch nur ein einziges Beispiel findest, für das eine Aussage nicht zutrifft (was aber behauptet wird), dann hast du auch schon den kompletten Wahrheitsgehalt gekippt.
Natürlich bringt es einem nur etwas, wenn ein Gegenbeispiel relativ einfach zu finden ist.
Ich glaube, du bist skeptisch, weil man aus der Schule weiß, dass Beispiele nicht aussagekräftig genug sind. Das stimmt schon, wenn man damit eine Aussage für eine größere Menge untermauern will. Wenn man aber diese Aussage widerlegen möchte, reicht ein Gegenbeispiel.
Beispiel:
Fritzchen behauptet: "Alle natürlichen Zahlen sind Teiler von 60." und zählt auf: "1, 2, 3, 4, 5, 6, all diese Zahlen teilen 60. Also tun es alle."
Das ist natürlich Quatsch.
Diese Aussage kann der Lehrer mit einem Gegenbeispiel widerlegen: "Die Sieben tut es nicht!". Fertig!
> was bedeutet abgeschlossen?
Man sagt, eine Menge ist bezüglich einer Operation abgeschlossen, wenn das Ergebnis einer Anwendung der Operation auf Elemente dieser Menge auch immer in dieser Menge liegt.
Im Klartext:
[mm] $\IQ$ [/mm] ist bezüglich der Addition abgeschlossen, weil zwei rationale Zahlen immer eine rationale Zahl als Summe haben.
Dasselbe gilt für die Multiplikation.
> bzw. wie beweise ich das oder schreib es an?
Hmm, fragt sich, was davon notwendig ist.
Du musst nur sagen, dass [mm] $\IQ$ [/mm] ein Körper ist. Dann hat sich das erledigt, weil dort eben Addition und Multiplikation so definiert sind.
Wenn es unbedingt sein muss, kannst du es z.B. so aufschreiben:
[mm] $f\left(\IQ\times{}\IQ\right)\subseteq\IQ$ [/mm] für $f(x,y)=x+y$ und
[mm] $f\left(\IQ\times{}\IQ\right)\subseteq\IQ$ [/mm] für $f(x,y)=x*y$
oder so:
[mm] $\forall{}x,y\in\IQ: x+y\in\IQ$ [/mm] und
[mm] $\forall{}x,y\in\IQ: x*y\in\IQ$
[/mm]
Gruß
Martin
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