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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mi 14.06.2017 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1, X_2,... [/mm] i.id. reelle Zufallsvariablen mit [mm] X_1 [/mm] gleichverteilt auf [mm] \{1,...,k\} [/mm] für ein fest vorgegebens [mm] k\in \IN, [/mm] k ge 2. Welche AUssagen stimmen?
(i) [mm] P(X_1-X_2=0)=1
[/mm]
(ii) [mm] P(X_1\le X_k)=E(X_1)/k
[/mm]
(iii) [mm] E(cos(X_1))=E(cos(X_2)) [/mm] |
Hallo,
Aussage (i) falsch.
Nun ist meine Frage, warum diese Aussage falsch ist.
Wir haben [mm] P(X_1-X_2=0) \gdw P(X_1=X_2) [/mm] also [mm] X_1=X_2
[/mm]
aber was sagt es mir aus?
Aussage (ii) falsch.
Ich habe erstmal [mm] E(X_1) [/mm] ausgerechnet, also [mm] E(X_1)=\bruch{k+1}{2}
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}*\bruch{k+1}{2}
[/mm]
Und es sei [mm] P(X_1\le X_k)=1/k [/mm] , aber warum?
zu (iii)
Wie berechnet man das?
Habe [mm] E(X_1)=\summe_{i=1}^k cos(x_i)P(x_i)
[/mm]
Wie mache ich weiter?
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Hallo,
> Seien [mm]X_1, X_2,...[/mm] i.id. reelle Zufallsvariablen mit [mm]X_1[/mm]
> gleichverteilt auf [mm]\{1,...,k\}[/mm] für ein fest vorgegebens
> [mm]k\in \IN,[/mm] k ge 2. Welche AUssagen stimmen?
>
> (i) [mm]P(X_1-X_2=0)=1[/mm]
>
> (ii) [mm]P(X_1\le X_k)=E(X_1)/k[/mm]
>
> (iii) [mm]E(cos(X_1))=E(cos(X_2))[/mm]
> Hallo,
>
> Aussage (i) falsch.
>
> Nun ist meine Frage, warum diese Aussage falsch ist.
>
> Wir haben [mm]P(X_1-X_2=0) \gdw P(X_1=X_2)[/mm] also [mm]X_1=X_2[/mm]
>
> aber was sagt es mir aus?
Die ZVen sind unabhängig. Die Behauptung würde aber das Gegenteil implizieren, denn die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] den gleichen Wert annehmen, soll ja laut Aussage 1 sein, was eben bedeuten würde, dass generell [mm] X_1=X_2 [/mm] ist.
>
> Aussage (ii) falsch.
>
>
>
> Ich habe erstmal [mm]E(X_1)[/mm] ausgerechnet, also
> [mm]E(X_1)=\bruch{k+1}{2}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}*\bruch{k+1}{2}[/mm]
>
> Und es sei [mm]P(X_1\le X_k)=1/k[/mm] , aber warum?
>
Wenn du mal alle möglichen Fälle für [mm] X_k [/mm] durchspielst und dir die jeweilige Wahrscheinlichkeit für [mm] X_1\le{X_k} [/mm] betrachtest, so kommst du mit Hilfe der Gaußschen Summenformel darauf, dass Aussage (ii) wahr ist.
> zu (iii)
>
> Wie berechnet man das?
>
> Habe [mm]E(X_1)=\summe_{i=1}^k cos(x_i)P(x_i)[/mm]
>
> Wie mache ich weiter?
[mm] P(x_i)=\frac{1}{k} [/mm] und das Argument der Kosinusfunktion ist [mm] x_i=i.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 14.06.2017 | | Autor: | knowhow |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich habe eine Frage zu (ii)
Warum soll die Aussage wahr sein?
für den [mm] E(X_1) [/mm] bekomme ich mit Gaußschen Summenformel:
[mm] E(X_1)=\summe_{i=1}^k iP(X_1=i)
[/mm]
und da [mm] X_1 [/mm] gleichverteilt ist müsste gelten: [mm] P(X_1=i)=1/k
[/mm]
Also bekommen wir
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k [/mm] i= [mm] \bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2}=\bruch{k+1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2}
[/mm]
nun frage ich mich warum [mm] P(X_1\le X_k)=1/k [/mm] geltn soll bzw. falsch ist?
zu (iii)
dann müsste es heißen, dass
[mm] E(cos(X_1))=\bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k [/mm] cos(i)
und [mm] E(cos(X_2))=cos(X_2)P(X_2)
[/mm]
Ich komme da leider nicht weiter bzw. ist diese Aussage falsch?
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Hallo,
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Ich habe eine Frage zu (ii)
>
> Warum soll die Aussage wahr sein?
>
> für den [mm]E(X_1)[/mm] bekomme ich mit Gaußschen Summenformel:
>
> [mm]E(X_1)=\summe_{i=1}^k iP(X_1=i)[/mm]
>
> und da [mm]X_1[/mm] gleichverteilt ist müsste gelten: [mm]P(X_1=i)=1/k[/mm]
>
> Also bekommen wir
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k[/mm] i=
> [mm]\bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2}=\bruch{k+1}{2}[/mm]
>
Bis hierher passt das ja auch.
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{k}E(X_1)=\bruch{1}{k}\bruch{k+1}{2}[/mm]
>
> nun frage ich mich warum [mm]P(X_1\le X_k)=1/k[/mm] geltn soll bzw.
> falsch ist?
>
Was jetzt,
[mm] P(X_1\le{X_k})=\frac{E(X_1)}{k}
[/mm]
oder
[mm] P(X_1\le{X_k})=\frac{1}{k}
[/mm]
???
Berechne einmal für jeden möglichen Wert der Zufallsvariabken [mm] X_k [/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] X_1\le{X_k} [/mm] erfüllt ist. Wenn du diese Wahrscheinlichkeiten aufsummierst, dann erhältst du genau die Aussage, also ist sie wahr.
> zu (iii)
>
> dann müsste es heißen, dass
>
> [mm]E(cos(X_1))=\bruch{1}{k}\summe_{i=1}^k[/mm] cos(i)
>
> und [mm]E(cos(X_2))=cos(X_2)P(X_2)[/mm]
>
Wenn du den Erwartungswert von [mm] cos(X_2) [/mm] auf die gleiche Art und Weise darstellst wie bei [mm] cos(X_1), [/mm] was passiert dann wohl?
Gruß, Diophant
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