Aussagelogische Formel < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 28.09.2011 | | Autor: | spiike |
| Aufgabe | Bringen Sie die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt:
( (B → ¬A) → C) ˄ ( (B ˅ C) → (¬A ˄ B) )
≡ ( ¬(B → ¬A) ˅ C) ˄ ( ¬(B ˅ C) ˅ (¬A ˄ B) )
≡ ( ¬(¬B ˅ ¬A) ˅ C) ˄ ( ¬(B ˅ C) ˅ (¬A ˄ B) )
≡ ( C ˅ B ˄ A) ˄ ( (¬B ˄ ¬C) ˅ (¬A ˄ B) )
≡ ( C ˅ B ) ˄ ( C ˅ A) ˄ ( (¬B ˄ ¬C) ˅ (¬A ˄ B) )
≡ ( C ˅ B ) ˄ ( C ˅ A) ˄ (¬B ˅ ¬A ) ˄ (¬B ˅ B) ˄ (¬C ˅ ¬A) ˄ ( ¬C ˅ B )
≡ ( C ˅ B ) ˄ ( C ˅ A) ˄ (¬B ˅ ¬A ) ˄ (¬C ˅ ¬A) ˄ ( ¬C ˅ B ) |
Ich weiß nicht ob ich richtig liege mit den äquivalenten Aussagen, aber ich komme in der letzten Zeile nicht weiter.
Kann mir wer weiterhelfe was ich jetzt machen soll?
Gruß Paul
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Hossa :)
Ich finde diese Schreibweise grausam, daher verwende ich
Addition für "oder"
Multiplikation für "und"
[mm] $\overline [/mm] a$ für "nicht"
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] für "impliziert"
Damit lautet deine Aufgabe:
$( [mm] (B\Rightarrow\overline [/mm] A) [mm] \Rightarrow [/mm] C) ( (B + [mm] C)\Rightarrow (\overline [/mm] AB) ) $
Die Implikation ist immer wahr, außer für den Fall, dass man aus etwas Wahrem nichts Falsches folgern kann. Daher gilt die Beziehung:
[mm] $A\Rightarrow B=\overline [/mm] A+B$
Damit kannst du deine Aufgabe umschreiben:
$( [mm] \underbrace{(\underbrace{B\Rightarrow\overline A}_{=\overline B+\overline A}) \Rightarrow C}_{\overline{\overline B+\overline A}+C}) [/mm] ( [mm] \underbrace{(B + C)\Rightarrow (\overline AB)}_{=\overline{B+C}+\overline AB} [/mm] ) $
Mit Hilfe der Regeln von de Morgan:
[mm] $\overline{a+b}=\overline a\,\overline [/mm] b$
[mm] $\overline{a\,b}=\overline a+\overline [/mm] b$
kann man weiter vereinfachen:
[mm] $\overline{\overline A+\overline B}=\overline{\overline A}\,\overline{\overline B}=AB$
[/mm]
[mm] $\overline{B+C}=\overline B\,\overline [/mm] C$
Jetzt wird alles zusammen gebaut:
[mm] $(AB+C)(\overline B\,\overline C+\overline AB)=AB\overline B\,\overline C+C\overline B\,\overline C+AB\overline AB+C\overline AB=\overline [/mm] ABC$
Viele Grüße
Hasenfuß
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