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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Do 18.09.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Welche Aussage(verknüpfung) hat die gleiche Wahrheitswerteverteilung wie
1) (a [mm] \Rightarrow b)\wedge [/mm] a
2) (a [mm] \Rightarrow b)\wedge \bar{a}
[/mm]
3) (a [mm] \Rightarrow b)\wedge [/mm] b
4) (a [mm] \Rightarrow b)\wedge \bar{b}
[/mm]
Versuchen Sie durch "logisches Überlegen", einen entsprechenden Ausdruck zu finden. |
Hallo Zusammen,
bei Zweitens und Viertens soll a und b negiert sein, sieht man leider nicht so toll.
Zu Erstens:
(a [mm] \Rightarrow b)\wedge [/mm] a
Damit der Gesamtausdruck wahr ist muss a wahr sein. Damit der Teilausdruck a [mm] \Rightarrow [/mm] b wahr ist, muss b wahr sein. Sieht man sich dies an einer Wertetabelle an:
a b (a [mm] \Rightarrow b)\wedge [/mm] a
w w w
w f f
f w f
f f f
Somit muss ich einen Ausdruck finden, der die obengenannte Konstellation wiedergibt, es kommt nur einmal wahr raus, somit müsste der Ausdruck a [mm] \wedge [/mm] b richig sein.
Ich nehme nun mal viertens:
a b (a [mm] \Rightarrow b)\wedge \bar{b} [/mm]
w w f
w f f
f w f
f f w
Dazu fällt mir aber kein Ausdruck ein, der die selbe Verteilung der Werte ergibt. Ist es überhaupt erlaubt, dazu eine Wahrheitstafel zu erstellen. Da man es ja nur über "logisches Überlegen" herausfinden soll. Gibt es dazu vielleicht einen Trick oder Herangehensweise, damit es leiter von der Hand geht?
Grüße
itse
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> Welche Aussage(verknüpfung) hat die gleiche
> Wahrheitswerteverteilung wie
>
> 1) (a [mm]\Rightarrow b)\wedge[/mm] a
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> 2) (a [mm]\Rightarrow b)\wedge \bar{a}[/mm]
>
> 3) (a [mm]\Rightarrow b)\wedge[/mm] b
>
> 4) (a [mm]\Rightarrow b)\wedge \bar{b}[/mm]
>
> Versuchen Sie durch "logisches Überlegen", einen
> entsprechenden Ausdruck zu finden.
> Hallo Zusammen,
>
> bei Zweitens und Viertens soll a und b negiert sein, sieht
> man leider nicht so toll.
>
> Zu Erstens:
>
> (a [mm]\Rightarrow b)\wedge[/mm] a
>
> Damit der Gesamtausdruck wahr ist muss a wahr sein. Damit
> der Teilausdruck a [mm]\Rightarrow[/mm] b wahr ist, muss b wahr
> sein. Sieht man sich dies an einer Wertetabelle an:
>
> a b (a [mm]\Rightarrow b)\wedge[/mm] a
>
> w w w
> w f f
> f w f
> f f f
>
> Somit muss ich einen Ausdruck finden, der die obengenannte
> Konstellation wiedergibt, es kommt nur einmal wahr raus,
> somit müsste der Ausdruck a [mm]\wedge[/mm] b richig sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich nehme nun mal viertens:
>
> a b (a [mm]\Rightarrow b)\wedge \bar{b}[/mm]
>
> w w f
> w f f
> f w f
> f f w
>
> Dazu fällt mir aber kein Ausdruck ein, der die selbe
> Verteilung der Werte ergibt.
Schreibe in der Form einer Disjuktion [mm] ($\ldots \vee\ldots [/mm] $) von Konjunktionen [mm] ($\ldots \wedge\ldots$) [/mm] hin, in welchen Fällen in der dritten Spalte ein w auftritt: dies ist doch genau dann der Fall, wenn [mm] $\overline{a}$ [/mm] und [mm] $\overline{b}$ [/mm] gilt, wenn also [mm] $\overline{a}\wedge \overline{b}$ [/mm] gilt.
> Ist es überhaupt erlaubt, dazu
> eine Wahrheitstafel zu erstellen. Da man es ja nur über
> "logisches Überlegen" herausfinden soll. Gibt es dazu
> vielleicht einen Trick oder Herangehensweise, damit es
> leiter von der Hand geht?
In manchen Fällen, insbesondere den hier zu diskutierenden, ist die Anwendung der Regeln der ![[]](/images/popup.gif) Booleschen Algebra vorteilhaft: diese Regeln erlauben das Vereinfachen (jedenfalls das Umformen) aussagenlogischer Formeln auf eine zum Vereinfachen (bzw. Umformen) algebraischer Formeln analoge Weise.
Beispiele: 1) [mm] $(a\Rightarrow b)\wedge a=(\overline{a}\vee b)\wedge [/mm] a = [mm] (\overline{a}\wedge a)\vee (b\wedge [/mm] a)= [mm] \mathrm{f} \vee (a\wedge b)=a\wedge [/mm] b$ .
4) [mm] $(a\Rightarrow b)\wedge \overline{b}=(\overline{a}\vee b)\wedge \overline{b}=(\overline{a}\wedge \overline{b})\vee (b\wedge \overline{b})=(\overline{a}\wedge\overline{b})\vee \mathrm{f}= \overline{a}\wedge\overline{b}$.
[/mm]
Dabei habe ich verwendet, dass [mm] $a\Rightarrow [/mm] b$ zu [mm] $\overline{a}\vee [/mm] b$ äquivalent ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Do 18.09.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort.
> Beispiele: 1) [mm](a\Rightarrow b)\wedge a=(\overline{a}\vee b)\wedge a = (\overline{a}\wedge a)\vee (b\wedge a)= \mathrm{f} \vee (a\wedge b)=a\wedge b[/mm]
> 4) [mm](a\Rightarrow b)\wedge \overline{b}=(\overline{a}\vee b)\wedge \overline{b}=(\overline{a}\wedge \overline{b})\vee (b\wedge \overline{b})=(\overline{a}\wedge\overline{b})\vee \mathrm{f}= \overline{a}\wedge\overline{b}[/mm].
>
> Dabei habe ich verwendet, dass [mm]a\Rightarrow b[/mm] zu
> [mm]\overline{a}\vee b[/mm] äquivalent ist.
Das "f" steht in beiden Fallen für die Null? Wegen des Komplementärgesetzes [mm] a\land\neg [/mm] a=0
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Antwort.
>
> > Beispiele: 1) [mm](a\Rightarrow b)\wedge a=(\overline{a}\vee b)\wedge a = (\overline{a}\wedge a)\vee (b\wedge a)= \mathrm{f} \vee (a\wedge b)=a\wedge b[/mm]
>
> > 4) [mm](a\Rightarrow b)\wedge \overline{b}=(\overline{a}\vee b)\wedge \overline{b}=(\overline{a}\wedge \overline{b})\vee (b\wedge \overline{b})=(\overline{a}\wedge\overline{b})\vee \mathrm{f}= \overline{a}\wedge\overline{b}[/mm].
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> >
> > Dabei habe ich verwendet, dass [mm]a\Rightarrow b[/mm] zu
> > [mm]\overline{a}\vee b[/mm] äquivalent ist.
>
> Das "f" steht in beiden Fallen für die Null? Wegen des
> Komplementärgesetzes [mm]a\land\neg[/mm] a=0
ja, 0 oder f für falsch
>
> Gruß
> itse
LG
schachuzipus
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