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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Aussage beweisen
Aussage beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aussage beweisen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Do 03.11.2011
Autor: derahnungslose

Aufgabe
Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion:

-Für jeden n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] (n-1)^3+n^3+(n+1)^3 [/mm] durch 9 teilbar.

Hallo Leute,

also ich geh nach meinem Schema vor:

IA n=1: [mm] (1-1)^3+1^3+(1+1)^3 [/mm] ergibt 0+1+8=9 und 9/9= 1. Okay

IS n folgt n+1: [mm] ((n+1)-1)^3+(n+1)^3+((n+1)+1)^3 [/mm]

wenn ich das alles ausrechne, dann komme ich auf

[mm] 3n^3+9n^2+15n+9 [/mm]

aber wie geht es weiter??

        
Bezug
Aussage beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Do 03.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo derahnungslose,


> Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger
> Induktion:
>  
> -Für jeden n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm](n-1)^3+n^3+(n+1)^3[/mm] durch 9
> teilbar.
>  Hallo Leute,
>  
> also ich geh nach meinem Schema vor:
>  
> IA n=1: [mm](1-1)^3+1^3+(1+1)^3[/mm] ergibt 0+1+8=9 und 9/9= 1.
> Okay
>  
> IS n folgt n+1: [mm]((n+1)-1)^3+(n+1)^3+((n+1)+1)^3[/mm]
>  
> wenn ich das alles ausrechne, dann komme ich auf
>  
> [mm]3n^3+9n^2+15n+9[/mm] [ok]

Es ist also zu zeigen, dass unter der Vor., dass [mm] $9\mid\left[(n-1)^3+n^3+(n+1)^3\right] [/mm] \ \ \ [mm] (\text{IV})$ [/mm] auch gilt, dass

[mm] $9\mid\left[3n^3+9n^2+15n+9\right]$ [/mm]

Multipliziere mal in der IV aus und subtrahiere das von dem letzten Term, von dem zu zeigen ist, dass 9 ihn teilt...

Finde also raus, was du zu [mm] $(n-1)^3+n^3+(n+1)^3$ [/mm] addieren musst, um bei [mm] $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$ [/mm] zu landen.

>  
> aber wie geht es weiter??

Du brauchst im Prinzip die Teilbarkeitsregel: [mm] $a\mid [/mm] b$ und [mm] $a\mid [/mm] c$, dann [mm] $a\mid [/mm] (b+c)$

Hier $a=9,b=IV-Term, c=...$

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Aussage beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Do 03.11.2011
Autor: derahnungslose

vielen danke für deine mühe :) mir sagen die teilbarkeitsgesetze nichts, aber würde es denn auch so gehen,wenn ich so argumentiere:

[mm] n^3+(n-1)^3+(n+1)^3 [/mm] = [mm] 3n^3+6n [/mm] die ist ja voraussetzung und wenn ich jetzt [mm] 9n^2+9n+9 [/mm] addiere müsste es ja auch durch 9 teilbar sein, weil jeder summand durch 9 teilbar ist, oder?

Bezug
                        
Bezug
Aussage beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Do 03.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> vielen danke für deine mühe :) mir sagen die
> teilbarkeitsgesetze nichts, aber würde es denn auch so
> gehen,wenn ich so argumentiere:
>  
> [mm]n^3+(n-1)^3+(n+1)^3[/mm] = [mm]3n^3+6n[/mm] die ist ja voraussetzung und
> wenn ich jetzt [mm]9n^2+9n+9[/mm] addiere müsste es ja auch durch 9
> teilbar sein, weil jeder summand durch 9 teilbar ist, oder?

Genauso ist es!

Der Summand [mm] $a=3n^2+6n$ [/mm] ist durch 9 teilbar, der Summand [mm] $9n^2+9n+9=9(n^2+n+1)$ [/mm] offensichtlich auch.

Damit ist auch die Summe $a+b$ durch 9 teilbar, und [mm] $a+b=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$ [/mm]

Und genau das war ja im Induktionsschritt zu zeigen


Du hast also richtig argumentiert!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Aussage beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Do 03.11.2011
Autor: derahnungslose

VIELEN DANK !!! :)

Bezug
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