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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Aus Definition folgern
Aus Definition folgern < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aus Definition folgern: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:22 Fr 01.01.2010
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Es sei [mm] (\delta_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine reellwertige Folge und [mm] (X_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen. Man schreibt [mm] $X_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\delta_{n})$, [/mm] falls gilt:

[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists K\in\IR \exists n_{0}\in\IN \forall n\ge n_{0}: P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|\le K \right) \ge [/mm] 1- [mm] \varepsilon$. [/mm]

Zeige:

[mm] $X_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\delta_{n}), Y_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\gamma_{n}) \Rightarrow X_{n}*Y_{n} [/mm] = [mm] O_{P}(\delta_{n}*\gamma_{n})$ [/mm] und [mm] $X_{n}+Y_{n}=O_{P}(max(\delta_{n},\gamma_{n}))$ [/mm]

Hallo!

Ich denke, dass diese Aufgabe relativ einfach ist, aber trotzdem habe ich meine Probleme damit.

Den ersten Teil habe ich glaube ich hinbekommen:

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig.

Nach Voraussetzung existiert [mm] K_{1}\in\IN [/mm] und [mm] N_{1}\in\IN [/mm] sodass [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|> K_{1} \right) [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für alle [mm] n>N_{1}, [/mm] und es existiert [mm] K_{2}\in\IN [/mm] und [mm] N_{2}\in\IN [/mm] sodass [mm] P\left(\left|\frac{Y_{n}}{\gamma_{n}}\right|> K_{2} \right) [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für alle [mm] n>N_{2}. [/mm]

Wähle $K = [mm] K_{1}*K_{2}$, $n_{0}=max(N_{1},N_{2})$. [/mm] Dann ist für $n [mm] \ge n_{0}$: [/mm]

  [mm] $P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|> K_{1}*K_{2} \right) [/mm] $

$= [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|> K_{1}*K_{2},\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|\le K_{1} \right) [/mm] + [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|> K_{1}*K_{2},\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|> K_{1} \right)$ [/mm]

wegen weniger Bedingungen (größere Mengen in den P(...)) gilt nun:

[mm] $\le P\left(\left|\frac{Y_{n}}{\gamma_{n}}\right|>K_{2}\right) [/mm] + [mm] P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|> K_{1} \right)$ [/mm]

$< [mm] \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon$, [/mm]

also ist

[mm] $P\left(\left|\frac{X_{n}*Y_{n}}{\delta_{n}*\gamma_{n}}\right|\le K_{1}*K_{2} \right) \ge 1-\varepsilon$. [/mm]

Stimmt das?

Grüße,
Stefan

        
Bezug
Aus Definition folgern: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:32 Fr 01.01.2010
Autor: steppenhahn

Aufgabe
> Es sei [mm](\delta_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine reellwertige Folge und
> [mm](X_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge reellwertiger
> Zufallsvariablen. Man schreibt [mm]X_{n} = O_{P}(\delta_{n})[/mm],
> falls gilt:
>  
> [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists K\in\IR \exists n_{0}\in\IN \forall n\ge n_{0}: P\left(\left|\frac{X_{n}}{\delta_{n}}\right|\le K \right) \ge 1- \varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

.

>  
> Zeige:

X_{n} konvergiert stochastisch gegen c \Rightarrow X_{n}=O_{P}(1).

Hallo!

Bei dieser Teilaufgabe komme ich irgendwie ueberhaupt nicht weiter. Ich weiß, dass X_{n} stochastisch gegen c geht, also:

$\lim_{n\to\infty}P(|X_{n}-c|\ge L) = 0$

für alle $L > 0$, also nochmal mit \varepsilon:

$\forall \varepsilon > 0\exists N\in\IN:\forall n\ge N: P(|X_{n}-c|\ge L) \le \varepsilon$

für alle $L > 0$.

Und ich muss zeigen:

$\forall \varepsilon>0 \exists K\in\IR \exists n_{0}\in\IN \forall n\ge n_{0}: P\left(|\frac{X_{n}|> K \right) \le \varepsilon$.

Im Falle $c = 0$; ist die Aussage dann wirklich so offensichtlich, wie mir das scheint? Dass ich dann sozusagen K >0 beliebig wählen kann, weil dann doch eigentlich genau das von oben steht, oder?

Aber wie muss ich im Fall $c\not= 0$ vorgehen?

Kann ich dann einfach K = c wählen?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Aus Definition folgern: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Mo 04.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Aus Definition folgern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:47 Di 05.01.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

bin weiterhin an der Beantwortung der Fragen interessiert :-)

Grüße und danke für Eure Hilfe!
Stefan

Bezug
        
Bezug
Aus Definition folgern: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 So 03.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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