Aufstellung einer Ebene/Beweis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:22 Mi 12.11.2008 | | Autor: | mathegenie84 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punke A(1/2/3), B(5/0/-1) und D(-1/6/-1) sowie St (1-t/8/t).
a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene bestimmen, und ermitteln Sie die Gleichung der Ebene E in Normalenform.
b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch einen vierten Punkt C zu einem Quadrat ABCD ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt M dieses Quadrats.
c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von S(t) zu M minimal? |
Hallo Zusammen,
brauche dringend Eure Hilfe für die Aufgabe.
Kann man bei a die Ebene einfach so
E [mm] =\vec{A}+\lambda \overrightarrow{AB}+ \mu \overrightarrow{AD}
[/mm]
aufstellen??? Umformung in die Normalenform ist kein Problem.
Bei den Teilaufgaben b und c habe ich keine Ahnung wie das gehen soll.
Gruß
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mi 12.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Anna
> Gegeben sind die Punke A(1/2/3), B(5/0/-1) und D(-1/6/-1)
> sowie St (1-t/8/t).
>
> a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und D eine Ebene
> bestimmen, und ermitteln Sie die Gleichung der Ebene E in
> Normalenform.
> b) Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A, B und D durch
> einen vierten Punkt C zu einem Quadrat ABCD ergänzen
> lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt M
> dieses Quadrats.
Zeige, dass [mm] \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD} [/mm] und
[mm] |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|
[/mm]
Damit gilt dann:
[mm] \vec{c}=\vec{b}+\overrightarrow{BC}=\vec{b}+\overrightarrow{AD} [/mm] (Da die beiden Seiten gleichlang sein sollen)
Und den Mittelpunkt M des Quadrates lkannst du über:
[mm] \vec{m}=\vec{b}+\bruch{1}{2}\overrightarrow{BD} [/mm] bestimmen.
> c) Für welchen Wert von t ist die Entfernung von S(t) zu M
> minimal?
berechne dazu mal [mm] |\overrightarrow{S_{t}M}| [/mm] dann bekommst du die Länge des Vektors in Abhängigkeit von t und kannst diese dann minimieren (Extrempunkt berechnen)
> Hallo Zusammen,
>
> brauche dringend Eure Hilfe für die Aufgabe.
>
> Kann man bei a die Ebene einfach so
>
> E [mm]=\vec{A}+\lambda \overrightarrow{AB}+ \mu \overrightarrow{AD}[/mm]
So bestimmt man die Ebene In Parameterform, das ist korrekt.
>
> aufstellen??? Umformung in die Normalenform ist kein
> Problem.
> Bei den Teilaufgaben b und c habe ich keine Ahnung wie das
> gehen soll.
Siehe oben.
>
> Gruß
> Anna
Gruss
Marius
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Hallo Marius
erst mal danke für deine schnelle Antwort
habe jetzt erst mal [mm] \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}
[/mm]
ergibt 0, dann [mm] \vmat{ \overrightarrow{AB} } [/mm] = [mm] \vmat{ \overrightarrow{AD} }
[/mm]
ergibt 6 =6
Für C = [mm] \overrightarrow{B} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ -5}
[/mm]
Diagonalenschnittpunkt M
M = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
Damit ist der Teil B gelöst.
Bei Teil C habe ich noch eine weitere Frage. Ich habe [mm] \vmat{ \overrightarrow{S(t)M} } [/mm] berechnet, da komme ich dann auf
[mm] \vektor{1-t \\ -5 \\ -1-t}
[/mm]
Kann man c auch mit dem Abstand berechnen???
Wie kann ich damit weiterrechnen???
Dann habe ich noch eine Frage zu a)
Wie zeige ich, dass die Punkte A, B und D eine Ebene bestimmen???
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Kann mir wohl jemand zu meiner Frage einen Tipp geben???
Gruß
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mi 12.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Schon geschehen!
Viele Grüße,
Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mi 12.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Hallo!
Der Betrag [mm] \vmat{ \overrightarrow{S(t)M} } [/mm] ist der Abstand zwischen S(t) und M, also gilt:
[mm] \vmat{ \overrightarrow{S(t)M} }
[/mm]
= [mm] \wurzel{(1-t)^{2} + (-5)^{2} + (-1-1t)^{2}}
[/mm]
Der Abstand soll minimal werden, das ist eine Extremwertaufgabe (Lösen mit 1. Ableitung).
> Bei Teil C habe ich noch eine weitere Frage. Ich habe
> [mm]\vmat{ \overrightarrow{S(t)M} }[/mm] berechnet, da komme ich
> dann auf
> [mm]\vektor{1-t \\ -5 \\ -1-t}[/mm]
> Kann man c auch mit dem
> Abstand berechnen???
>
> Wie kann ich damit weiterrechnen???
>
> Dann habe ich noch eine Frage zu a)
> Wie zeige ich, dass die Punkte A, B und D eine Ebene
> bestimmen???
Sind 3 verschiedene Punkte gegeben, legen diese immer eine Ebene fest. (Sonst hättest du nicht die Parameterform aufstellen können...)
Viele Grüße,
Markus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:59 Mi 12.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
> Der Betrag [mm]\vmat{ \overrightarrow{S(t)M} }[/mm] ist der Abstand
> zwischen S(t) und M, also gilt:
> [mm]\vmat{ \overrightarrow{S(t)M} }[/mm]
> = [mm]\wurzel{(1-t)^{2} + (-5)^{2} + (-1-1t)^{2}}[/mm]
>
> Der Abstand soll minimal werden, das ist eine
> Extremwertaufgabe (Lösen mit 1. Ableitung).
>
>
> > Bei Teil C habe ich noch eine weitere Frage. Ich habe
> > [mm]\vmat{ \overrightarrow{S(t)M} }[/mm] berechnet, da komme ich
> > dann auf
> > [mm]\vektor{1-t \\ -5 \\ -1-t}[/mm]
> > Kann man c auch mit dem
> > Abstand berechnen???
> >
> > Wie kann ich damit weiterrechnen???
> >
> > Dann habe ich noch eine Frage zu a)
> > Wie zeige ich, dass die Punkte A, B und D eine Ebene
> > bestimmen???
>
> Sind 3 verschiedene Punkte gegeben, legen diese immer eine
> Ebene fest. (Sonst hättest du nicht die Parameterform
> aufstellen können...)
3 Punkte bestimmen nur dann eine Ebene eindeutig, wenn sie nicht alle auf einer Geraden liegen.
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße,
> Markus
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:25 Do 13.11.2008 | | Autor: | MarkusF |
Stimmt, an diese Möglichkeit habe ich nicht gedacht...
Vielen Dank für die Korrektur!
Viele Grüße,
Markus
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