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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2/10/1), B(-1/13/4) und [mm] C_{k}(-8/k/7) [/mm] mit k [mm] \in \IR [/mm] gegeben.
1.1 Stellen Sie fest, ob es Werte von k gibt, sodass A, B und [mm] C_{k} [/mm] auf einer Geraden liegen.
1.2 Die Ebene F wird durch die Punkte A, B und [mm] C_{2} [/mm] (k02) aufgespannt. Bestimmen Sie je eine Gleichung von F in Parameter- und Koordinatenform.
(mögliches Ergebnis: F: [mm] 7x_{1} -2x_{2} +9x_{3} [/mm] = 3)
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1.1)
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & -2 \\ 13 & -10 \\ 4 & -1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -3 \\ 3 \\ 3 }
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3} \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] " = [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ -8 \\ k \\ 7 } \Rightarrow \alpha [/mm] = 8 ; [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 7
[mm] C_{k} [/mm] liegt nicht auf [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
1.2)
Erst mal erstelle ich [mm] \overrightarrow{AC_{2}} [/mm] und multipliziere diesen Vektor mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] . Jetzt erstelle ich meine Ebenengleichung in Parameterform.
Ergebnis:
F: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 10 \\ 1 } [/mm] + [mm] \alpha \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + [mm] \mu \pmat{ -5 \\ 4 \\ 3 }
[/mm]
Jetzt wandel ich die Parameterform in die Koordinatenform um:
[mm] \vec{a} [/mm] " [mm] \times \vec{b} [/mm] " = [mm] \pmat{ 1*(-3) & - 1*(-4) \\ 1*(-5) & (-1)(-3) \\ -1*(-4) & 1*(-5) } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -8 \\ 9}
[/mm]
Jetzt noch die Konstante ausrechnen indem ich den Aufpunkt A (2/10/1) einsetze.
1(2) - 8(10) + 9(1) = - 69
[mm] \Rightarrow [/mm] F: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] - [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] 9x_{3} [/mm] -69 = 0
Mein Ergebnis ist so anders, dass ich schon wieder unsicher bin ob ich alles richtig gemacht habe. Ist es richtig oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 28.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Semimathematiker!
> Ergebnis:
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> F: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 \\ 10 \\ 1 }[/mm] + [mm]\alpha \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] + [mm]\mu \pmat{ -5 \\ 4 \\ 3 }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da hat sich beim letzten Richtungsvektor ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Auch die 4 hat ein Minuszeichen.
Gruß
Loddar
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Danke für den Hinweis Lodda. Ich hab tatsächlich vergessen meinen zweiten Spannvektor zu berechnen. Dumm, dumm. Jetzt klappts auch mit dem Ergebnis.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Etwas ungewöhnlich aufgeschrieben, aber okay.
