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| Aufgabe | Aufstellen der Vektorgleichung und Bestimmung der Fundamentalmatrix von DGLs der Art:
(I) u^(4) - 8*u^(2) + 15
(II) u^(4) - 8*u^(2) + 15u
(III) (I) u^(4) - 8*u^(3) + 15
usw. |
Hallo,
ich möchte zu der DGL u^(2) - 8*u' + 15u die Fundamental matrix bestimmen.
Hier gehe ich ja wie folgt vor:
definiere:
x:=u'
x':=u^(2)=8*u'-15*u=8*x-15*u
daraus folgt die Gleichung
[mm] \vektor{u \\ x}^' [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -15 & 8 } [/mm] * [mm] \vektor{u \\ x}
[/mm]
Die Fundamentalmatrix erhält man nun bequem über die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Aber wie gehe ich an eine Aufgabe ran die z.b. wie folgt aussieht.
(Ich benenne mal die einzelnen Beispiele durch)
(I) u^(4) - 8*u^(2) + 15
(II) u^(4) - 8*u^(2) + 15u
(III) (I) u^(4) - 8*u^(3) + 15
usw.
wie erhalte ich hier nun die Vektorgleichung und die zugehörige Fundamentalmatrix?
Vielen Dank für jegliche Antwort im Vorraus.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=107896&start=0&lps=785809#v785809]
mit besten Grüßen,
RedSunset
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Das geht exakt genauso, du brauchst nur mehr Hilfvariablen. Wenn du [mm]u^{(4)}[/mm] hast, setzt du einfach [mm]x_0=u[/mm], [mm]x_1=x_0'[/mm], [mm]x_2=x_1'[/mm], [mm]x_3=x_2'[/mm], [mm]x_4=x_3'[/mm]. Es gilt dann ja [mm]x_i=u^{(i)}[/mm]
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erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Was ich hier noch nicht verstehe ist wie ich dann für Bsp. (I) die Vektorgleichung wie in dem von mir gezeigten Beispiel aufstelle. Das will mir irgendwie nicht gelingen dies so zurückzuführen dass ich eben auf die Gestalt
v Vektor, A Matrix:
v'=A*v
komme.
Vielen Dank für jegliche Antwort im Vorraus.
Beste Grüße,
RedSunset
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Ich nehme mal (II) (die anderen sind inhomogen):
[mm]u^{(4)} - 8*u^{(2)} + 15u=0[/mm]
[mm]x_0=u[/mm], [mm]x_i=x_{i-1}'[/mm]
Also haben wir insgesamt:
[mm]x_0' = x_1[/mm]
[mm]x_1' = x_2[/mm]
[mm]x_2' = x_3[/mm]
[mm]x_3' = 8*x_2-15x_0[/mm]
Also
[mm]x' = \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -15 & 0 & 8 & 0} * x[/mm]
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super , jetzt hab ich es verstanden !
Also z.b. u^(3)+4u^(2)+3u wäre dann über die Vektorgleichung
[mm] x'=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ -3 & 0 & -4} [/mm] * x
lösbar richtig?
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