Auflösung durch eine Abbildung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Do 21.04.2005 | | Autor: | mariposa |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich zeigen soll, dass man ein Gleichungssystem durch eine einmal stetig differenzierbare Abbildung auflösen kannl. Ich verstehe dabei nicht, wieso die Lösungsmenge von einem Gleichungssystem eine Abbildung ist.
Vielen Dank
Mariposa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo Mariposa,
Ich glaube hier müsstest Du noch ein wenig ausführlicher schreiben was die Aufgabe ist. Der Zusammenhang ist (zumindest mir) unklar.
Hast Du denn schon einen Ansatz?
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Fr 22.04.2005 | | Autor: | mariposa |
Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
x²+uy+[mm]e^v[/mm]=0
2x+u²-uv=5
in einer Umgebung von (2,5) durch eine einmal stetig differenzierbare Abbildung
(x,y) --> (u(x,y),v(x,y))
mit u(2,5)=-1 und v(2,5)=0 aufgelöst werden kann und berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion im Punkt (2,5).
Ich habe noch nicht verstanden, wie ich mir das anschaulich vorstellen kann, was ich da mache, wie ich an die Aufgabe rangehe und wozu ich das mit der Umgebung brauche, weil meines Wissens doch alles irgendwie Umgebung von (2,5) ist, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Fr 22.04.2005 | | Autor: | moudi |
> Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
> x²+uy+[mm]e^v[/mm]=0
> 2x+u²-uv=5
> in einer Umgebung von (2,5) durch eine einmal stetig
> differenzierbare Abbildung
> (x,y) --> (u(x,y),v(x,y))
> mit u(2,5)=-1 und v(2,5)=0 aufgelöst werden kann und
> berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion im Punkt
> (2,5).
Hallo mariposa
Du musst das Gleichungssystem nach den Variablen x und y auflösen und x, y wie Parameter behandeln. Dieses Gleichungssystem lässt sich aber nicht so einfach auflösen.
Wenn x=2 und y=5 ist lautet das System [mm] $e^v+5u+4=0$, $u^2-uv+4=5$.
[/mm]
Es besitzt die Lösungen u=-1 und v=0.
Man kann die partiellen Ableitungen [mm] $u_x(2,5), u_y(2,5), v_x(2,5), v_y(2,5)$ [/mm] trotzdem berechnen, wenn man die Gleichungen des Gleichungssystem partiell nach x und y ableitet und dann nach den partiellen Ableitungen auflöst.
mfG Moudi
> Ich habe noch nicht verstanden, wie ich mir das anschaulich
> vorstellen kann, was ich da mache, wie ich an die Aufgabe
> rangehe und wozu ich das mit der Umgebung brauche, weil
> meines Wissens doch alles irgendwie Umgebung von (2,5) ist,
> oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Sa 23.04.2005 | | Autor: | mariposa |
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Mo 25.04.2005 | | Autor: | mariposa |
Ich komme einfach nicht drauf, wie ich die Abbildung (x,y) --> (u(x,y),v(x,y)) rausbekomme.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 25.04.2005 | | Autor: | moudi |
> Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
> x²+uy+[mm]e^v[/mm]=0
> 2x+u²-uv=5
> in einer Umgebung von (2,5) durch eine einmal stetig
> differenzierbare Abbildung
> (x,y) --> (u(x,y),v(x,y))
> mit u(2,5)=-1 und v(2,5)=0 aufgelöst werden kann und
> berechnen Sie die Ableitung dieser Funktion im Punkt
> (2,5).
Das Gleichungssystem lässt sich nicht explizit nach u und v auflösen. Das heisst es gibt keine Formeln in den Variablen x und y für u und v. Trotzdem lassen sich die partiellen Ableitungen der Lösungsfunktion $u=u(x,y), v=v(x,y)$ angeben, indem man die Gleichungen partiell nach x und y differenziert.
[mm] $\frac{\partial}{dx}(x^2+uy+e^v=0) \Rightarrow 2x+u_x y+e^v v_x=0$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial}{dx}(2x+u²-uv=5) \Rightarrow 2+2uu_x-u_xv-u v_x=0$
[/mm]
Für x=2 und y=5 ergibt sich u=-1 und v=0. Das setzt man alles in die beiden oberen Gleichungen ein und erhält:
[mm] $4+5u_x+v_x=0$ [/mm] und [mm] $2-2u_x+v_x=0$ [/mm] mit der Lösung [mm] $u_x=\frac{-2}7$ [/mm] und [mm] $v_x=\frac{-18}7$
[/mm]
Für die partiellen Ableitungen nach y funktioniert es genau gleich:
[mm] $\frac{\partial}{dy}(x^2+uy+e^v=0) \Rightarrow u_y y+u+e^v v_y=0$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial}{dy}(2x+u²-uv=5) \Rightarrow 2uu_y-u_yv-u v_y=0$
[/mm]
Für x=2, y=5, u=-1 und v=0 ergibt sich dann
[mm] $5u_y-1+v_y=0$ [/mm] und [mm] $-2u_y+v_y=0$ [/mm] mit der Lösung [mm] $u_y=\frac17$ [/mm] und [mm] $v_y=\frac27$
[/mm]
Das heisst also [mm] $u_x(2,5)=\frac{-2}7$, $v_x(2,5)=\frac{-18}7$, $u_y(2,5)=\frac17$, $v_y(2,5)=\frac27$.
[/mm]
Viel mehr lässt sich nicht sagen.
mfG Moudi
>
> Ich habe noch nicht verstanden, wie ich mir das anschaulich
> vorstellen kann, was ich da mache, wie ich an die Aufgabe
> rangehe und wozu ich das mit der Umgebung brauche, weil
> meines Wissens doch alles irgendwie Umgebung von (2,5) ist,
> oder?
|
|
|
|
