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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{}^{}{log(x)^3} [/mm] |
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, habe versucht mit Substitution zu arbeiten:
Setze t:=log x
[mm] dt=\bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] dt*x = dx
jetzt hab ich vesucht das x durch t darzustellen und hab einfach mit [mm] e^{log x}=e^t [/mm] weitergearbeitet (ich hoffe das geht so einfach).
[mm] \integral_{}^{}{t^3e^t dt} [/mm] Dann weiter mit partieller Integration
Setze [mm] f(t)=e^t \Rightarrow F(t)=e^t
[/mm]
[mm] g(t)=t^3 \Rightarrow g'(t)=3t^2
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{t^3e^t dt} [/mm] = [mm] F(t)g(t)-\integral_{}^{}{F(t)g'(t) dt} [/mm]
[mm] =e^tt^3-3\integral_{}^{}{e^tt^2 dt}
[/mm]
...Dann noch zweimal partielle Integration...
[mm] e^tt^3-3e^tt^2+6e^tt-6e^t
[/mm]
Jetzt ist ja [mm] e^t [/mm] = [mm] e^{log x}=x, [/mm] also
[mm] x*log(x)^3-3x*log(x)^2+6x*log(x)-6x
[/mm]
rauskommen soll da aber 6x(log(x)-1) also 6x*log(x)-6x quasi nur der hintere Term von dem was ich da raus habe. Ich bin aber eigentlich ziemlich davon überzeugt keinen Fehler gemacht zu haben, zumal ich es mehrmals durchgerechnet habe und immer wieder dasselbe ergebnis bekomme. Also entweder hebt sich [mm] x*log(x)^3-3x*log(x)^2 [/mm] gegenseitig auf, oder ich kann nicht integrieren...
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 So 03.02.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
wenn Du mit log den natürlichen Logarithmus ln meinst, dann wäre ja
[mm] $\integral ln(x)^3 \;dx [/mm] = [mm] 3*\integral [/mm] ln(x) [mm] \;dx$
[/mm]
was man partiell integrieren kann zu
$3x*(ln(x)-1)$
Da wäre allerdings ein Faktor 2 Unterschied zu deinem Ergebnis.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 So 03.02.2008 | | Autor: | Joerg_G. |
Hallo rainman,
woher stammt denn deine "Musterlösung"? Ist es möglich das diese fehlerhaft ist?
Ich gebe zu das ich mich nur skizzenhaft mit deiner Lösung beschäftigt habe, aber sie sieht gut aus und als ich das von dir gegebene Integral (log = ln ?) mit
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
integriert habe, habe ich auch dein Ergebnis, also
[mm] x\cdot{}log(x)^3-3x\cdot{}log(x)^2+6x\cdot{}log(x)-6x
[/mm]
erhalten.
Am besten nochmal bei der Quelle der Lösung nachhaken!
Viele Grüße,
Jörg
/e1: Rechtschreibung
/e2: Formelverbesserung
/e3: ln Gesetze für Exponenten angewendet
/e: Und wieder weggewischt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 03.02.2008 | | Autor: | rainman_do |
Naja die Quelle der Lösung ist ein Buch, allerdings ein schlechtes. Also ist es durchaus möglich, dass sich da ein Fehler eingeschlichen hat.
Vielen Dank
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 So 03.02.2008 | | Autor: | Joerg_G. |
Noch ein kurzer Kommentar dazu, etwas das mir gerade erst aufgefallen ist (es ist spät... =/ ):
Martinius' Lösung zieht hier mMn leider nicht, weil die Potenzgesetze hier nicht anwendbar sind. Es gilt ja: [mm] (ln(x))^3 \not= [/mm] ln [mm] (x^3) [/mm] = 3 ln(x)
Also, mein Tipp: Lösung im Buch ist falsch. Richtige Lösung hast du bereits selbst gefunden. Wenn möglich am besten mit Matlab oä. nachprüfen.
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