"Aufleitung" bei Brüchen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | | Leite die Funktion "auf" : 3/(2 * (3x+1)^(1/2 )) |
Hallo alle zusammen !
Also, ich weiß, das ma z.B. die Funktion y = [mm] 3x^2 [/mm] so ableitet : y' = 1/3 * x^(2+1)
Aber wie macht man das bei diesem Bruch ? Ich ahb versucht die 2 in die Wurzel einzubeziehen, aber das bringt gar nichts ...
Könnt ihr mir helfen ?
Ich danke euch !
Eure liebe Fee
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Hallo Fee,
> Leite die Funktion "auf" : 3/(2 * (3x+1)^(1/2 ))
Schreibe statt 'Leite die Funktion "auf"' z.B. 'Integriere die Funktion'
[mm]\bruch{3}{2*\wurzel{3x+1}}[/mm]
Schreibe die Funktion zunächst so um:
[mm]\bruch{3}{2*\wurzel{3x+1}}=\bruch{3}{2}*\left(3*x+1\right)^{-1/2}[/mm]
Weitere Vereinfachung:
[mm]\bruch{3}{2}*\left(3*x+1\right)^{-1/2}=\bruch{3}{2*\wurzel{3}}*\left(x+1/3\right)^{-1/2}[/mm]
Jetzt kannst Du die angesprochene Regel verwenden.
> Hallo alle zusammen !
>
> Also, ich weiß, das ma z.B. die Funktion y = [mm]3x^2[/mm] so
> ableitet : y' = 1/3 * x^(2+1)
>
> Aber wie macht man das bei diesem Bruch ? Ich ahb versucht
> die 2 in die Wurzel einzubeziehen, aber das bringt gar
> nichts ...
>
> Könnt ihr mir helfen ?
>
> Ich danke euch !
>
> Eure liebe Fee
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Fee |
Hallöchen :) :
Also, ich habe jetzt versucht mit Mathepowers Hilfe die Lösung zu finden :
f(x) = 1,5 * (3x + 1)^(-0,5)
F(x) = 2 * 1,5 * (3x+1)^(0,5)
Jetzt soll ich F(5) mit F(0) abziehen.
F(5) = 2 * 1,5 * (3*5+1)^(0,5) = 12
F(0) = 2* 1,5 * (3*0+1)^(0,5) = 3
Also : 12 - 3 = 9
Die Lösung, die mein Lehrer angegeben hat ist 3
Findet ihr meinen Fehler ?
Ich danke euch
Eure liebe Fee
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Hallo Fee,
da hast Du aber nicht alle Tipps berücksichtigt, die Dir gegeben wurden...
> Also, ich habe jetzt versucht mit Mathepowers Hilfe die
> Lösung zu finden :
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> f(x) = 1,5 * (3x + 1)^(-0,5)
>
> F(x) = 2 * 1,5 * (3x+1)^(0,5)
Wenn ich die Probe mache, ist aber [mm] F'(x)\not=f(x). [/mm] Da fehlt noch ein Faktor.
Im übrigen hast Du Richies Hinweis nicht beachtet, dass die allgemeine Stammfunktion einer Funktion immer eine sogenannte Integrationskonstante enthält, normalerweise als +c notiert. Natürlich könnte man sie auch [mm] \varphi oder\hat{a} [/mm] oder MickyMaus nennen, aber c ist halt üblich.
> Jetzt soll ich F(5) mit F(0) abziehen.
mit? Ist das eine regionale Ausdrucksweise? Mir erscheint sie falsch.
> F(5) = 2 * 1,5 * (3*5+1)^(0,5) = 12
>
> F(0) = 2* 1,5 * (3*0+1)^(0,5) = 3
>
> Also : 12 - 3 = 9
>
> Die Lösung, die mein Lehrer angegeben hat ist 3
>
> Findet ihr meinen Fehler ?
Ja, siehe oben. [mm] F(x)=a*2*1,5*(3x+1)^{0,5}+c
[/mm]
Der fehlende Faktor a ist noch zu bestimmen, das c nicht. Es gehört aber dahin.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Fee |
Aber ich verstehe leider nicht, was das a zu bedeuten hat :( Was ist der Unterschied zwischen a und c ? Und wie bestimmt man a ?
Liebste Grüße
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Hallo Fee,
> Aber ich verstehe leider nicht, was das a zu bedeuten hat
> :( Was ist der Unterschied zwischen a und c ?
Nun, was ist der Unterschied: Das a gehört quasi noch zu dem für die Berechnung des bestimmten Integrals unbedingt notwendige Term.
Denn es gilt: Eine Stammfunktion ist bis auf eine beliebige reelle Konstante eindeutig bestimmt. Das c ist diese beliebige Konstante.
> Und wie
> bestimmt man a ?
Wenn du sofort richtig integrierst, dann braucht man das a nicht weiter zu bestimmen. Aber reverend hat ja angedeutet, dass ein gewisser Faktor a fehlt, damit die Ableitung der Stammfunktion wieder die Ausgangsfunktion ergibt. Daher ist es sinnvoll folgendes zu machen:
Leite [mm] F(x)=a\cdot{}2\cdot{}1,5\cdot{}(3x+1)^{0,5}+c [/mm] ab und setze es mit f(x) gleich, also F'(x)=f(x) und bestimme somit den Faktor a.
>
> Liebste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 14.08.2012 | | Autor: | Fee |
Und warum braucht man das a ?
Klar, weil dann F'(x) dann nicht f(x) ergibt.
Aber was hat das zu bedeuten ? Wie kommt der Faktor dahin ?
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Hallo,
> Und warum braucht man das a ?
Die Frage hast du quasi schon selbst beantwortet.
> Klar, weil dann F'(x) dann nicht f(x) ergibt.
>
> Aber was hat das zu bedeuten ? Wie kommt der Faktor dahin ?
Gehen wir von MathePowers Umformung aus:
[mm] f(x)=\bruch{3}{2\cdot{}\wurzel{3}}\cdot{}\left(x+1/3\right)^{-1/2}
[/mm]
f(x) sollst du integrieren.
Es gilt folgendes:
[mm] \integral x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+c [/mm] , [mm] \alpha\not=1
[/mm]
Desweiteren gilt: [mm] \integral af(x)dx=a\integral{f(x)dx}
[/mm]
[mm] \integral \bruch{3}{2\cdot{}\wurzel{3}}\cdot{}\left(x+1/3\right)^{-1/2}= \bruch{3}{2\cdot{}\wurzel{3}}*\integral\left(x+1/3\right)^{-1/2}dx
[/mm]
Wende hier nun die Regel von oben an, das geht in diesem Fall, weil das x "allein" steht (es ist zwar eine Komposition von Funktionen, aber x abgeleitet ergibt eben 1. Am besten du machst dir das mal an einem Beispiel klar - dazu unten mehr).
[mm] \bruch{3}{2\cdot{}\wurzel{3}}*\integral\left(x+1/3\right)^{-1/2}dx=\bruch{3}{2\cdot{}\wurzel{3}}*2*\left(x+1/3\right)^{1/2}+c
[/mm]
Die Lösung steht nun da. Leite den Ausdruck ab und überzeuge dich von der Richtigkeit.
Wenn du eine zwei vor das x schreibst und dann ableitest: Was passiert mit dem Ausdruck? Erkennst du dadurch eine Regel für das ableiten/integrieren?
Wenn die innere Funktion linear ist, dann gibt es nämlich auch eine einfache Regel für die Berechnung des Integrals. Kannst du diese formulieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 14.08.2012 | | Autor: | Fee |
Hey,
also ich hab mich jetzt eine Weile damit beschäftigt und ich kann leider keine Regel dazu formulieren, tut mir leid ! Ich hab irgendwie ein Brett vor dem Kopf, es will einfach nicht in meinen Kopf ...
Könnt ihr mir noch mal auf die Sprünge helfen ?
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Hallo Fee,
ob du ein Brett vor dem Kopf hast (was ich bezweifle), oder Mathe eh nicht checkst, oder was auch immer: es tut nichts zur Sache und ist sinnlose Tipparbeit.
Wenn du etwas nicht umsetzen kannst oder schlichtweg nicht verstanden hast: dann versuche dies so konkret wie irgend möglich zu formulieren. Dann kann man dir
a) zielführend helfen
b) lernst du dabei auch etwas: nämlich formulieren, was eine der wichtigsten mathematischen Kernkompetenzen ist.
Es gibt eine Integrationstechnik namens Integration durch Substitution. Sie ist leider aus dem Schulunterricht völlig verschwunden, von daher weiß ich nicht, ob du sie kennst. Falls ja, wird dir sofort klar sein, was ich gleich tun werde; falls nein: dann musst du halt ein wenig gründlicher beim Durcharbeiten sein.
Wir nehmen an, wir haben eine integrierbare Funktion f(x) und kennen eine Stammfunktion F(x). Eine Funktion g(x) sei definiert durch
g(x)=f(ax+b) mit [mm] a\ne{0},b: [/mm] reelle Konstanten.
Wir wollen eine Stammfunktion von g bestimmen, also
[mm] \int{g(x) dx}=\int{f(ax+b) dx}
[/mm]
Nun substituieren wir
z=ax+b
und leiten diese Substitution nach x ab, wobei wir noch den Differenzialquotienten zur Notation der Ableitung verwenden. Wozu das gut ist, ist selbsterklärend:
[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=a
[/mm]
Diese Gleichung lösen wir nach dx auf:
[mm] dx=\bruch{dz}{a}
[/mm]
Mit alldem gehen wir nun in unser Integral ein und erhalten:
[mm] \int{f(ax+b) dx}=\int{f(z) \bruch{dz}{a}}=\bruch{1}{a}*\int{f(z) dz}=\bruch{1}{a}*F(z)+C=\bruch{1}{a}*F(ax+b)+C
[/mm]
Diese Vorgehensweise meinte Richie1401: wenn du eine verkettete Funktion hast und
- die innere Funktion ist linear
- die Stammfunktion der äußeren Funktion ist bekannt
dann erhält man eine Stammfunktion, indem man die Stammfunktion der äußeren Funktion durch die innere Ableitung dividiert. Diese Regel lernt man in der Schule, meist schon zu Beginn der Integralrechnung. Sie kommt dort nur ein wenig aus dem Nichts und wird dann auch gerne schnell wieder vergessen. Mache sie dir klar!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fee!
> Leite die Funktion "auf" : 3/(2 * (3x+1)^(1/2 ))
> Hallo alle zusammen !
>
> Also, ich weiß, das ma z.B. die Funktion y = [mm]3x^2[/mm] so
> ableitet : y' = 1/3 * x^(2+1)
Das stimmt so in der Art gar nicht. Das ist weder die Ableitung noch eine Stammfunktion.
[mm] f(x)=3x^2
[/mm]
Dann ist: [mm] F(x)=x^3+c [/mm] und f'(x)=6x
>
> Aber wie macht man das bei diesem Bruch ? Ich ahb versucht
> die 2 in die Wurzel einzubeziehen, aber das bringt gar
> nichts ...
>
> Könnt ihr mir helfen ?
>
> Ich danke euch !
>
> Eure liebe Fee
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