Aufleiten eines Bruches < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Akz |
Hallo!
Erstmal Lob an dieses Forum, ist echt ne tolle Sache. Hab mich jetzt gerad angemeldet weil ich mir zur Zeit den Kopf an einer Aufgabe zerbreche. Ihr werdet wahrscheinlich lachen, aber ich kriegs einfach nicht hin einen Bruch aufzuleiten :-/
Aufgabenstellung ist folgende:
Man gebe zu
[mm] \vec{f} (\vec{x}) [/mm] = [mm] \{ \bruch{x_{1}}{x_{1}^2 + x_{2}^2} , \bruch{x_{2}}{x_{1}^2 + x_{2}^2} , x_{3} \}
[/mm]
eine Funktion g an mit grad g = f.
Sprich, ich muss die einzelnen Vektorkomponenten aufleiten. Das ist schonmal klar. [mm] x_{3} [/mm] aufzuleiten ist kein Problem, aber die Brüche?
Da gibts doch sicher ne allgemeine Regel für (konnte in meinem Mathebuch nichts dazu finden).
Wär super wenn mir da jemand helfen könnte!
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 28.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
"Aufleiten" heisst eigentlich integrieren. dh. du suchst [mm] \integral_{xa}^{x} {\vec{f(x)} d\vec{x}}
[/mm]
das Skalarprodukt ausgeführt:
[mm] \integral_{0}^{x} [/mm] { [mm] \bruch{x_{1}}{x_{1}^2 + x_{2}^2}*dx_{1} [/mm] + [mm] \bruch{x_{2}}{x_{1}^2 + x_{2}^2}dx_{2} [/mm] + [mm] x_{3} dx_{3}} [/mm] die ersten 2 Brüche sind von der Form [mm] \bruch{f'}{f}, [/mm] das sollte man sehen "aufgeleitet" ln(f)
Also [mm] g=ln(x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2)+\bruch{x^{3}}{2}
[/mm]
"Allgemeine" Regeln gibts fürs integrieren nicht, aber wenn im Nenner was steht, prüft man erst mal ob im Zähler schon beinahe die Ableitung steht.
2. häufig : [mm] \bruch{f'}{\wurzel{f}}=( 2*\wurzel{f})'
[/mm]
und sonst muss du halt irgendwas substituieren oder partiell integrieren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Akz |
Ja das ist schon komisch. Das Integral von [mm] \bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2} [/mm] ... das ist ja das Problem für mich:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {1/ dx} ergibt ja: Ln(z)
jetzt könnte ich ja substituieren und sagen: [mm] x_{1}^2+x_{2}^2 [/mm] = z
dann wär das Ln(z) und nach rücksubstituieren: [mm] Ln(x_{1}^2+x_{2}^2).
[/mm]
Leite ich das aber wieder ab kriege ich [mm] \bruch{2x}{x_{1}^2+x_{2}^2} [/mm] raus und nicht, wie die Ausgangsfunktion: [mm] \bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2}
[/mm]
Deswegen kann ich mir nicht vorstellen das das mit Substituieren klappt, oder hab ich da was falsch verstanden?
Edit: Achja ich seh gerad, war nen Denkfehler :-/
Trotzdem check ich immer noch nicht wie ich den Bruch nun aufleiten soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 28.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich musst du den Faktor 2 ergänzen
> Ja das ist schon komisch. Das Integral von
> [mm]\bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm] ... das ist ja das Problem
> für mich:
>
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] {1/ dx} ergibt ja: Ln(z)
diese Integral ist Unsinn, ich hoff du hast dich verschrieben!
> jetzt könnte ich ja substituieren und sagen:
> [mm]x_{1}^2+x_{2}^2[/mm] = z
mit dz =2*x dx!!!!
>
> dann wär das Ln(z) und nach rücksubstituieren:
> [mm]Ln(x_{1}^2+x_{2}^2).[/mm]
>
> Leite ich das aber wieder ab kriege ich
> [mm]\bruch{2x}{x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm] raus und nicht, wie die
> Ausgangsfunktion: [mm]\bruch{x_{1}}{x_{1}^2+x_{2}^2}[/mm]
>
> Deswegen kann ich mir nicht vorstellen das das mit
> Substituieren klappt, oder hab ich da was falsch
> verstanden?
du hast nicht richtig substituiert!!
[mm] \bruch{x}{x^{2}+a}= [/mm] 0,5 [mm] *\bruch{2*x}{x^{2}+a}
[/mm]
soviel Selbständigkeit hät ich dir zugetraut! du kannst doch auch [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {c*f(x) dx}, wenn du [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} kannst!
Gruss leduart
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