Aufgaben zum Produktzeichen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 23.02.2006 | | Autor: | Julia_1 |
| Aufgabe | 4. Berechnen Sie:
a) [mm] \produkt_{i=1}^{5} \bruch{i - 1}{i^2 + 1}
[/mm]
b) [mm] \produkt_{i=0}^{2} \produkt_{j=2}^{4} [/mm] i [mm] \* [/mm] j
c) [mm] \produkt_{i=1}^{3} \produkt_{j=2}^{4} [/mm] i + j
d) [mm] \produkt_{i=1}^{6} \bruch{1}{i}
[/mm]
e) [mm] \produkt_{i=1}^{100} \bruch{i}{i + 1} [/mm] |
Hallo.
Ich habe o. g. Aufgaben gerechnet und folgende Ergebnisse erhalten. Bitte überprüft diese auf Richtigkeit.
a) [mm] \produkt_{i=1}^{5} \bruch{i - 1}{i^2 + 1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1 - 1}{1 + 1} \* \bruch{2 - 1}{4 + 1} \* \bruch{3 - 1}{9 + 1} \* \bruch{4 - 1}{16 + 1} \* \bruch{5 - 1}{25 + 1}
[/mm]
= 0 [mm] \* \bruch{1}{5} \* \bruch{1}{5} \* \bruch{3}{17} \* \bruch{2}{13}
[/mm]
= 0
b) [mm] \produkt_{i=0}^{2} \produkt_{j=2}^{4} [/mm] i [mm] \* [/mm] j
= [mm] \produkt_{i=0}^{2} [/mm] [(i [mm] \* [/mm] 2) [mm] \* [/mm] (i [mm] \* [/mm] 3) [mm] \* [/mm] (i [mm] \* [/mm] 4)]
= [mm] \produkt_{i=0}^{2} 24i^3
[/mm]
=(24 [mm] \* 0^3) \* [/mm] (24 [mm] \* 1^3) \* [/mm] (24 [mm] \* 2^3)
[/mm]
= 0 [mm] \* [/mm] 24 [mm] \* [/mm] 192
= 0
c) [mm] \produkt_{i=1}^{3} \produkt_{j=2}^{4} [/mm] i + j
= [mm] \produkt_{i=1}^{3} [/mm] [(i + 2) [mm] \* [/mm] (i + 3) [mm] \* [/mm] (i + 4)]
= [mm] \produkt_{i=1}^{3} (i^3 [/mm] + [mm] 9i^2 [/mm] + 26i + 24)
= (1 + 9 + 26 + 24) [mm] \* (2^3 [/mm] + [mm] 9\*2^2 [/mm] + [mm] 26\*2 [/mm] + 24) [mm] \* (3^3 [/mm] + [mm] 9\*3^2 [/mm] + [mm] 26\*3 [/mm] + 24)
= 60 [mm] \* [/mm] 120 [mm] \* [/mm] 210
= 1.512.000
d) [mm] \produkt_{i=1}^{6} \bruch{1}{i} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{1} \* \bruch{1}{2} \* \bruch{1}{3} \* \bruch{1}{4} \* \bruch{1}{5} \* \bruch{1}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{720}
[/mm]
e) Hier weiß ich nicht weiter. Natürlich könnte man alles von 1 -100 "zu Fuß" ausrechnen. Aber ich denken, dass ist nicht Sinn dieser Aufgabe.
Es gibt für Produkte doch bestimmt auch so eine Formel, wie es sie auch bei den Summanden gibt. Ich meine diese hier: [mm] \bruch{n \* (n+1)}{2}.
[/mm]
Ich weiß aber nicht, wie die entsprechende Produktformel dazu ausschaut. Könnt ihr mir dabei weiterhelfen?
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Hallo Julia!
Bei Aufgabe a.) bis d.) habe ich keinen (prinzipiellen) Fehler entdeckt (aber auch nicht alles nachgerechnet).
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> e) [mm]\produkt_{i=1}^{100} \bruch{i}{i + 1}[/mm]
Schreiben wir das mal etwas aus (allgemein):
[mm] $\produkt_{i=1}^{100} \bruch{i}{i + 1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*\bruch{3}{4}*...*\bruch{99}{100}*\bruch{100}{\red{101}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*2*3*...*99*100}{2*3*4*...*100*\red{101}}$
[/mm]
Siehst Du nun das Ergebnis (Stichwort: kürzen)?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 23.02.2006 | | Autor: | Julia_1 |
Danke Roadrunner.
Dann bleibt bei e) nur [mm] \bruch{1}{101} [/mm] übrig. Sehe ich das richtig?
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Hallo Julia!
!!
Gruß vom
Roadrunner
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