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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo ich habe ein paar Aufgaben, wo ich keine Ahnung habe, wie ich soetwas ausdrücken oder machen soll.
ein Beispiel:
[mm] [TEX]X_1 [/mm] := [mm] \{y \in Z \left| y\ ist\ gerade \}[/TEX]
[/mm]
[mm] [TEX]X_2 [/mm] := [mm] \{y \in Z \left| es\ gibt\ ein\ z \in Z\ mit\ y^2+z^2 \le 2 \} [/mm] [/TEX]
Und ich soll jetzt [mm] [TEX]X_1 \cap X_2[/TEX] [/mm] bestimmen. Wie mache ich soetwas? Wie gehe ich da vor? Und vor allem: Wie schreibe ich soetwas korrekt auf? Ich wäre sehr dankbar für hilfe.
mfg Duckx
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=2684974709#post2684974709
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Duckx und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
natürlich könnte ich versuchen, dich möglichst schnell zu einer Lösung zu bringen. Aber ich glaube, dass du mehr davon hast, wenn wir kleinschrittiger vorgehen.
Zunächst gilt es, [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] zu verstehen.
1. Daher als Vorübung:
Teste 0, 1, -1, 2, -2, 3 und [mm] $\bruch52$ [/mm] daraufhin, ob sie Element von [mm] $X_1$ [/mm] bzw. [mm] $X_2$ [/mm] sind.
2. Versuche, ALLE Elemente von [mm] $X_2$ [/mm] zu finden.
3. Schlage die Definition von [mm] $\cap$ [/mm] aus der Vorlesung nach und poste sie hier.
Wenn du irgendwo nicht weiterkommst, frag bitte konkret nach. Dann helfe ich gerne.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok also zu X1 gehört ...-4,-2,0,2,4...
und zu X2 gehört y=-1,0,1
Ich muss den Durchschnitt von X1 und X2 herausfinden, also die mengen die sowohl in X1 als auch in X2 vorhanden sind und das ist 0
meine Frage ist, wie ich dies mathematisch korrekt aufschreibe :) (mein Lehrer ist diesbezüglich sehr streng)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ok also zu X1 gehört ...-4,-2,0,2,4...
> und zu X2 gehört y=-1,0,1
>
> Ich muss den Durchschnitt von X1 und X2 herausfinden, also
> die mengen die sowohl in X1 als auch in X2 vorhanden sind
> und das ist 0
Sehr schön, geht doch! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genauer gesagt: Der Durchschnitt von [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] ist DIE MENGE aller Objekte, die sowohl Element von [mm] $X_1$ [/mm] als auch von [mm] $X_2$ [/mm] sind. Hier ist der Durchschnitt also die Menge [mm] $\{0\}$, [/mm] die als einziges Element die Zahl 0 enthält.
> meine Frage ist, wie ich dies mathematisch korrekt
> aufschreibe :) (mein Lehrer ist diesbezüglich sehr streng)
Es gilt
[mm] $X_2=\{-1,0,1\}$
[/mm]
und daher
[mm] $X_1\cap X_2=\{y\;|\;y\in X_1\text{ und }y\in X_2\}=\{y\;|\;y\in\IZ\text{ gerade und }y\in\{-1,0,1\}\}=\{0\}$.
[/mm]
Eventuell könnte noch eine Begründung für [mm] $X_2=\{-1,0,1\}$ [/mm] verlangt sein. Falls ich eine solche sauber aufschreiben soll: Wie bist du auf [mm] $X_2=\{-1,0,1\}$ [/mm] gekommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Naja ich habe für z jeweils -1,0 und 1 eingesetzt und habe geguckt, welche y da passen würden...aber das geht auch auch besser oder muss man das wirklich immer alles einzelnd abarbeiten? was wenn es mal eine komplizierte formel wird? ich kann doch schlecht 200 mal gucken was für y gehen würde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Naja ich habe für z y jeweils -1,0 und 1 eingesetzt und habe
> geguckt, welche y z da passen würden...
Genau, z.B. z=0 tut es jeweils.
> aber das geht auch
> auch besser oder muss man das wirklich immer alles einzelnd
> abarbeiten? was wenn es mal eine komplizierte formel wird?
> ich kann doch schlecht 200 mal gucken was für y gehen
> würde?
Da gibt es kein allgemeines Patentrezept.
Hier hast du offensichtlich auch nicht 200 Zahlen einzeln durchprobiert.
Man kann hier für [mm] $y\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $y\ge [/mm] 2$ bzw. [mm] $y\le [/mm] -2$ jeweils überlegen, dass [mm] $y^2+z^2\ge [/mm] 4+0=4$ für alle [mm] $z\in\IZ$ [/mm] gilt.
Somit kann es für diese y kein [mm] $z\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $y^2+z^2\le [/mm] 2$ geben.
Man kann manchmal wie hier durch ausprobieren von Beispielen auf einen vermuteten allgemeinen Zusammenhang kommen, den es dann zu überprüfen gilt.
Du kannst ja mal andere Aufgaben posten, bei denen du nicht weiterkommst. Es ist leichter, an Beispielaufgaben zu diskutieren als ganz abstrakt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Erst einmal danke für deine tolle Hilfe und dafür dass du dich nicht entmutigen lässt mir zu helfen :)
ein weiteres Beispiel wär die Verinigung von einer Menge X1:={y element Z , yist durch 6 teilbar}
und X2:={y element Z, [mm] 3y^2 [/mm] ist durch 4 teilbar}
Dort weiß ich nun wirklich nicht, wie ich soetwas lösen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mi 24.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ein weiteres Beispiel wär die Verinigung von einer Menge
> X1:=$\{$y element Z , yist durch 6 teilbar$\}$
> und X2:=$\{$y element Z, [mm]3y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist durch 4 teilbar$\}$
>
> Dort weiß ich nun wirklich nicht, wie ich soetwas lösen
> soll.
Im anderen Forum hattet ihr ja schon
$X_1\cup X_2=\{y\in\IZ\;|\;(y\text{ durch 6 teilbar})\text{ oder }( 3y^2\text{ durch 4 teilbar})\}$.
Die Frage nach der Vereinfachung hat nun erst einmal gar nichts mit Mengenlehre zu tun, sondern mit Wissen über Teilbarkeit:
"y durch 6 teilbar" lässt sich für sich genommen wohl kaum ernsthaft vereinfachen.
"$3y^2$ durch 4 teilbar" dagegen schon.
Letzteres ist gleichbedeutend mit
"der Primfaktor 2 kommt mindestens zweimal in der Primfaktorzerlegung von 3y^2 vor".
Da der Primfaktor 2 in der Primfaktorzerlegung von 3 nicht auftaucht, heißt das nichts anderes als
"der Primfaktor 2 kommt mindestens zweimal in der Primfaktorzerlegung von y^2 vor"
was wiederum gleichbedeutend ist mit
"der Primfaktor 2 kommt mindestens einmal in der Primfaktorzerlegung von y vor",
kurzum:
"y ist gerade"!
Die Aussage "y durch 6 teilbar oder $3y^2$ durch 4 teilbar" ist also gleichbedeutend mit
"y durch 6 teilbar oder y gerade".
Hast du eine Idee, wie sie sich weiter vereinfachen lässt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Es wäre toll wenn du das mit der Primfaktorzerlegung einmal genauer erklären kannst :) das ist alles neuland für mich
und nein leider hab ich keine ahnung von der vereinfachung :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Das wird jetzt etwas länger...
Daher vorweg ein "Inhaltsverzeichnis":
1. Teilbarkeit
2. Primzahlen
3. Primfaktorzerlegung
4. Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung
5. Anwendung: [mm] "3y^2 [/mm] durch 4 teilbar" bzw. "y durch 6 teilbar"
1. Definition: Eine ganze Zahl [mm] $y\in\IZ$ [/mm] heißt teilbar durch eine ganze Zahl [mm] $x\in\IZ$ [/mm] ungleich 0, wenn [mm] $\bruch{y}{x}\in\IZ$ [/mm] gilt.
Beispiele: -30 ist teilbar durch 6, denn [mm] $\bruch{-30}{6}=-5\in\IZ$.
[/mm]
31 ist nicht teilbar durch 6, denn [mm] $\bruch{31}{6}=5\bruch16\not\in\IZ$.
[/mm]
Bemerkung: Jede ganze Zahl [mm] $y\in\IZ$ [/mm] ist durch 1 teilbar (denn [mm] $\bruch{y}{1}=y\in\IZ$).
[/mm]
Jede ganze Zahl [mm] $y\in\IZ$ [/mm] ist durch sich selbst teilbar (denn [mm] $\bruch{y}{y}=1\in\IZ$).
[/mm]
Bemerkung: Ist eine natürliche Zahl [mm] $k\in\IN$ [/mm] ungleich 0 durch eine natürliche Zahl [mm] $l\in\IN$ [/mm] ungleich 0 teilbar, so gilt [mm] $l\le [/mm] k$.
2. Definition: Eine natürliche Zahl [mm] $p\in\IN$ [/mm] mit $p>1$ heißt Primzahl, falls 1 und p die einzigen natürlichen Zahlen sind, durch die p teilbar ist.
Beispiele: 2, 3, 5, 7 und 11 sind Primzahlen. Z.B. ist 7 weder durch 2, noch durch 3, noch durch 4, noch durch 5, noch durch 6 teilbar.
6 ist keine Primzahl, denn 6 ist nicht nur teilbar durch 1 und 6, sondern auch durch 2 und 3.
3. Motivation: Es gilt z.B. 100=2*50=2*2*25=2*2*5*5. So lässt sich jede natürliche Zahl ungleich 0 als Produkt von Primzahlen schreiben:
Satz: Jede natürliche Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] ungleich 0 besitzt eine Darstellung als endliches Produkt von Primzahlen.
(Dabei sei auch ein Produkt von 0 Primzahlen zugelassen, dessen Wert als 1 definiert sei.)
Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Die Darstellung von n als endliches Produkt von Primzahlen nennt man Primfaktorzerlegung von n. Die darin vorkommenden Faktoren heißen Primfaktoren von n.
Beispiel: Die Primfaktorzerlegung von 100 lautet 2*2*5*5. Die Primfaktoren von 100 lauten 2 und 5. Beide kommen in der Primfaktorzerlegung von 100 je zwei mal vor.
Übungsaufgabe: Bestimme die Primfaktorzerlegung von 63.
Die Primfaktorzerlegung soll nun auf alle ganzen Zahlen ungleich 0, also auch die negativen ganzen Zahlen ausgedehnt werden: Sei [mm] $x\in\IZ$ [/mm] negativ. Sei [mm] $-x=p_1*\ldots*p_k$ [/mm] die Primfaktorzerlegun der natürlichen Zahl -x. Dann nennen wir die Darstellung [mm] $x=-(p_1*\ldots*p_k)$ [/mm] die Primfaktorzerlegung von x und [mm] $p_1,\ldots,p_k$ [/mm] die Primfaktoren von x.
Beispiel: x=-100. Primfaktorzerlegung: x=-(2*2*5*5). Die Primfaktoren von x lauten 2 und 5.
4. Bemerkung: Für ganze Zahlen [mm] $y,x\in\IZ$ [/mm] ungleich 0 ist y durch x teilbar genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von y alle Primfaktoren von x enthalten sind und zwar jeweils mindestens so häufig wie in der Primfaktorzerlegung von x.
Beispiele:
y=100, x=8: Primfaktorzerlegungen: y=2*2*5*5, x=2*2*2. Der Primfaktor 2 von x ist zwar in der Primfaktorzerlegung von y enthalten, jedoch nur zwei mal, in x jedoch drei mal. Also ist 100 nicht durch 8 teilbar.
y=-100, x=6: Primfaktorzerlegungen: y=-(2*2*5*5), x=2*3. Der Primfaktor 3 von x ist in der Primfaktorzerlegung von y nicht enthalten. Also ist -100 nicht durch 6 teilbar.
y=100, x=25: Primfaktorzerlegungen: y=2*2*5*5, x=2*2*5. Beide Primfaktoren 2 und 5 von x sind in der Primfaktorzerlegung von y enthalten und zwar jeweils mindestens so häufig wie in der Primfaktorzerlegung von x. Also ist 100 durch 25 teilbar.
5. Eine ganze Zahl [mm] $y\in\IZ$ [/mm] ungleich 0 ist genau dann durch 6=2*3 teilbar, wenn sie (u.a.) die Primfaktoren 2 und 3 hat.
Für eine ganze Zahl [mm] $y\in\IZ$ [/mm] ungleich 0 ist [mm] $3y^2$ [/mm] durch 4=2*2 teilbar genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von [mm] $3y^2$ [/mm] die Primzahl 2 mindestens zweimal enthalten ist.
Sei [mm] $y=\pm(p_1*\ldots*p_k)$ [/mm] die Primfaktorzerlegung von y. Wie sieht nun die Primfaktorzerlegung von [mm] $3y^2=3*y*y$ [/mm] aus?
[mm] $3y^2=3*p_1*\ldots*p_k*p_1*\ldots*p_k$.
[/mm]
Wann ist in ihr die Zahl 2 mindestens zweimal enthalten? Genau dann, wenn mindestens eine der Primzahlen [mm] $p_1,\ldots,p_k$ [/mm] die Zahl 2 ist. Was nichts anderes heißt, als dass y (u.a.) den Primfaktor 2 hat.
Also ist [mm] $3y^2$ [/mm] durch 4 teilbar genau dann, wenn y (u.a.) den Primfaktor 2 hat.
Die Aussage
"(y ist durch 6 teilbar) oder [mm] ($3y^2$ [/mm] ist durch 4 teilbar)"
ist für [mm] $y\in\IZ$ [/mm] ungleich 0 somit gleichbedeutend mit der Aussage
"(y hat (u.a.) die Primfaktoren 2 und 3) oder (y hat (u.a.) den Primfaktor 2)".
Kannst du diese Aussage weiter vereinfachen?
Bei Unklarheiten bitte nachfragen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo :)
danke dass du so viel Mühe und Zeit investiert hast. Ich habe alles soweit verstanden. Jetzt weiß ich aber nicht ganz genau, wie ich dies vereinfachen soll. Ich hätte jetzt gesagt, dass y gerade sein muss?
Tut mir leid, falls ich schon wieder daneben liege :(
Eine weitere Aufgabe:
X1:={y element Z, y ist gerade}
X2:={y element Z, y ist durch 6 teilbar}
[mm] X1\X2={y element Z, y durch 2 und nicht durch 3 teilbar}
[/mm]
Wieder bin ich mit noch sehr unsicher bei der Lösung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo :)
> danke dass du so viel Mühe und Zeit investiert hast. Ich
> habe alles soweit verstanden. Jetzt weiß ich aber nicht
> ganz genau, wie ich dies vereinfachen soll. Ich hätte
> jetzt gesagt, dass y gerade sein muss?
>
> Tut mir leid, falls ich schon wieder daneben liege :(
Hallo
Du hattest doch scon, korrekterweise:
$ [mm] X_1\cup X_2=\{y\in\IZ\;|\;(y\text{ durch 6 teilbar})\text{ oder }( 3y^2\text{ durch 4 teilbar})\} [/mm] $.
Zu folgender Bedingung vereinfacht.
"y durch 6 teilbar oder y gerade".
Überlege nun mal, was "durch 6 teilbar" für die Primfaktorzerlegung bedeutet, und was "gerade" für die PFZ bedeutet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
y hat die Primfaktoren 2 und 3 Oder 2
Also würde es doch auch ausreichen wenn ich sage y hat den Primfaktor 2, ist also durch 2 teilbar. So war meine Überlegung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> y hat die Primfaktoren 2 und 3 Oder 2
> Also würde es doch auch ausreichen wenn ich sage y hat
> den Primfaktor 2, ist also durch 2 teilbar. So war meine
> Überlegung.
Das passt leider nicht, 4, oder 8 oder 14 oder 20 oder 64 oder ähnliche Zahlen erfüllen die Bedingung, dass sie gerade sind, aber nicht deine Ausgangsbedingung.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Aber [mm] 3*4^2 [/mm] ist doch durch 4 Teilbar? genauso wie 8, 14 usw.
Wo ist da mein denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Aber [mm]3*4^2[/mm] ist doch durch 4 Teilbar? genauso wie 8, 14
> usw.
14 ist durch 4 Teilbar? Das ist mir aber neu.
>
> Wo ist da mein denkfehler?
Du hattest am Anfang noch die Bedingung "durch 6 teilbar". Eine Zahl, die durch 6 teilbar ist, muss auch gerade sein, also taucht der Primfaktor 2 mindestens einmal auf. Aber ein Primfaktor fehlt noch, damit die Zahl durch 6 teilbar ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Das ist Richtig, ich habe aber die Vereinigung aus y ist durch 6 teilbar und [mm] 3x^2 [/mm] ist durch 4 teilbar.
Und dann ist die Vereinigung der beiden mengen dass y gerade ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Das ist Richtig, ich habe aber die Vereinigung aus y ist
> durch 6 teilbar und [mm]3x^2[/mm] ist durch 4 teilbar.
>
> Und dann ist die Vereinigung der beiden mengen dass y
> gerade ist.
Dann ist es korrekt, die 3 aus den 3y² hatte ich übersehen, sorry.
Marius
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