Aufgabe zur Summe von UVRs < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
| Aufgabe | Wir definieren die direkte Summe endlich vieler UVR [mm] W_{i} \subset [/mm] V für einen VR V wie folgt:
V = [mm] W_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus W_{k}: \gdw [/mm] (i): V = [mm] W_{1} [/mm] +...+ [mm] W_{k}
[/mm]
(ii): von Null verschiedene Vektoren
[mm] w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k} [/mm] sind linear unabhängig
Beweisen Sie, dass für einen Vektorraum V folgende Bedingungen äquivalent
sind:
1. V = [mm] W_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus W_{k}
[/mm]
2. Jedes v [mm] \in [/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm] w_{1}+ [/mm] ... [mm] +w_{k} [/mm] mit [mm] w_{i} \in W_{i}
[/mm]
3. V = [mm] W_{1} [/mm] + ... + [mm] W_{k} [/mm] und: Ist [mm] w_{1} [/mm] + ... + [mm] w_{k} [/mm] = 0 für [mm] w_{i} \in W_{i}, [/mm] so folgt [mm] w_{i} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k |
Ich weiß, dass man jetzt hier zeigen soll, dass 1.äquivalent zu 2. und 1. äquivalent 3. gilt. Meine erste Frage:
Muss man dann auch noch 2. äquivalent zu 3. zeigen und wie gehe ich überhaupt an die Beweise dran.
Als erstes sind mir hier Dinge wie Basisergänzungssatz und Austauschlemma eingefallen, aber irgendwie mangelt es an der Umsetzung...
Ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Martin
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> Wir definieren die direkte Summe endlich vieler UVR [mm]W_{i} \subset[/mm]
> V für einen VR V wie folgt:
>
> V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}: \gdw[/mm] (i): V = [mm]W_{1}[/mm]
> +...+ [mm]W_{k}[/mm]
> (ii): von Null verschiedene Vektoren
> [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
> sind linear unabhängig
>
>
> Beweisen Sie, dass für einen Vektorraum V folgende
> Bedingungen äquivalent
> sind:
>
> 1. V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}[/mm]
>
> 2. Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm]w_{1}+[/mm]
> ... [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i}[/mm]
>
> 3. V = [mm]W_{1}[/mm] + ... + [mm]W_{k}[/mm] und: Ist [mm]w_{1}[/mm] + ... + [mm]w_{k}[/mm] = 0
> für [mm]w_{i} \in W_{i},[/mm] so folgt [mm]w_{i}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> k
> Ich weiß, dass man jetzt hier zeigen soll, dass
> 1.äquivalent zu 2. und 1. äquivalent 3. gilt. Meine erste
> Frage:
> Muss man dann auch noch 2. äquivalent zu 3. zeigen
hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das mußt Du nicht, den nDu hast dann ja diese Situation geschaffen: (3) <==> (1) <==> (2), kommst also von dre 2 zur 3 und zurück.
Unter Umständen kannst Du das in einem Ringschluß noch raffinierter gestalten: 1 ==> 2 ==> 3 ==>1 . Das sind dann nur noch 3 Beweise statt vorher 4.
> und wie
> gehe ich überhaupt an die Beweise dran.
Ganz wichtig sind die Vorbereitungen. Daß Du genau die Voraussetzungen aufschreibst, Dir klarmachst, was diese bedeuten, Du die zu zeigende Aussage notierst und Dir auch derne Bedeutung klarmachst. dann erst kann ein beweis beginnen und gelingen.
Beispiel:
(1) ==> (2)
Voraussetzung: V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}[/mm], dh.
> (i)V = [mm]W_{1}[/mm] +...+ [mm]W_{k}[/mm]
> (ii): von Null verschiedene Vektoren [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
> sind linear unabhängig
Zu zeigen: Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm]w_{1}+[/mm] ... [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i}[/mm],
d.h. jedes V ist darstellbar, und die Darstellung ist eindeutig.
Beweis: sei [mm] v\in [/mm] V.
Jetzt kannst Du schonmal begründen, warum es soch eine Darstellung gibt wie gefordert.
Die Eindeutigkeit würde man wohl erstmal so versuchen, daß man sagt, es gibt eine weitere solche Darstellung, die von der ersten verschieden ist. Dies würde man versuchen, zu einem Widerspruch zu führen.
Vielleicht so [mm] v=w_1+w_2+w_n=u_1+u_2+...+u_n [/mm] mit [mm] u_i,w_i\in W_i
[/mm]
==> 0= [mm] (w_1-u_1) [/mm] +...+ [mm] (w_n-u_n) [/mm]
Überlege Dir, in welchem Raum die Klammern jeweils sind.
Nimm an, eine der Klammern wäre [mm] \not=0. [/mm] Dann weiter bis zum Widerspruch.
Gruß v. Angela
> Als erstes sind mir hier Dinge wie Basisergänzungssatz und
> Austauschlemma eingefallen, aber irgendwie mangelt es an
> der Umsetzung...
>
> Ich hoffe ihr könnt mir etwas weiterhelfen.
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 20.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Hallo Angela,
erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich denke, dass ich das, was du zu 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 geschrieben hast verstanden habe. Trotzdem hab ich jetzt bei 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 und [mm] 3\Rightarrow [/mm] 1 immer noch relativ geringe Vorstellungen wie ich das aufziehen soll. könntest du mir hier vielleicht auch noch ein paar kleine Tipps geben?
Viele Dank
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Machen wir mal 2 ==> 3:
wir setzen also voraus:
Jedes v $ [mm] \in [/mm] $ V ist eindeutig darstellbar als v = $ [mm] w_{1}+ [/mm] $ ... $ [mm] +w_{k} [/mm] $ mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $.
Dann folgt schon mal: V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] W_{k} [/mm] $
Sei $ [mm] w_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] w_{k} [/mm] $ = 0 für $ [mm] w_{i} \in W_{i}, [/mm] $ . Damit haben wir eine Darstellung des Nullvektors mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $. Es gibt aber noch eine weitere, nämlich
0 = 0+ ... +0.
nach Vor. ist die Darstellung aber eindeutig, also gilt: [mm] w_i [/mm] = 0 für i = 1, ..., k
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 20.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Vielen Dank!
Also ich habe das ganze jetzt folgendermaßen versucht zu lösen:
An manchen Stellen fehlt vielleicht noch etwas...
[mm] 1\Rightarrow2:
[/mm]
Vor: V = $ [mm] W_{1} \oplus [/mm] $ ... $ [mm] \oplus W_{k} [/mm] $, dh.
> (i)V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ +...+ $ [mm] W_{k} [/mm] $
> (ii): von Null verschiedene Vektoren $ [mm] w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k} [/mm] $
> sind linear unabhängig
Zu zeigen:
Jedes v $ [mm] \in [/mm] $ V ist eindeutig darstellbar als v = $ [mm] w_{1}+ [/mm] $ ... $ [mm] +w_{k} [/mm] $ mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $,
d.h. jedes V ist darstellbar, und die Darstellung ist eindeutig.
Beweis: sei $ [mm] v\in [/mm] $ V.
Zur Darstellbarkeit habe ich mir überlegt, dass die V = $ [mm] W_{1} \oplus [/mm] $ ... $ [mm] \oplus W_{k} [/mm] $ eine Basis bilden und somit jeder Vektor v Element V darstellbar ist, aber sicher bin ich mir hier nicht.
Zur Eindeutigkeit:
Angenommen: Sei $ [mm] v\in [/mm] $ V und [mm] \lambda_{i},\mu_{i} \in \IR
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}w_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} \mu_{i}w_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{k} (\lambda_{i} [/mm] - [mm] \mu_{i})w_{i}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wg der linearen Unabhängigkeit von $ [mm] w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k} [/mm] $ :
[mm] \lambda_{i} [/mm] = [mm] \mu_{i} [/mm] f.a. i= 1,...,k
2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3:
Vor: Jedes v [mm] \in [/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = $ [mm] w_{1}+ [/mm] $ ... $ [mm] +w_{k} [/mm] $ mit $ [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] $.
Dann folgt schon mal: V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] W_{k} [/mm] $
Sei [mm] w_{1}+ [/mm] ... [mm] +w_{k} [/mm] = 0 für . Damit haben wir eine Darstellung des Nullvektors mit . Es gibt aber noch eine weitere, nämlich
0 = 0+ ... +0.
nach Vor. ist die Darstellung aber eindeutig, also gilt: [mm] w_{1}= [/mm] 0 für i = 1, ..., k
3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1:
Vor: V = $ [mm] W_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] W_{k} [/mm] $ und: Ist $ [mm] w_{1} [/mm] $ + ... + $ [mm] w_{k} [/mm] $ = 0
> für $ [mm] w_{i} \in W_{i}, [/mm] $ so folgt $ [mm] w_{i} [/mm] $ = 0 $ [mm] \forall [/mm] $ 1 $ [mm] \le [/mm] $ i $ [mm] \le [/mm] $
> k
Bew: Ist sofort klar weil das folgt schon aus der Definition
Ist das so richtig oder lieg ich da völlig daneben?
Wär echt nett, wenn ihr nochmal drüber schauen könntet!
Danke
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> [mm]1\Rightarrow2:[/mm]
>
> Vor: V = [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k} [/mm], dh.
> > (i)V = [mm]W_{1}[/mm] +...+ [mm]W_{k}[/mm]
> > (ii): von Null verschiedene Vektoren
> [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
> > sind linear
> unabhängig
>
> Zu zeigen:
> Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v = [mm]w_{1}+[/mm] ...
> [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i} [/mm],
>
> d.h. jedes V ist darstellbar, und die Darstellung ist
> eindeutig.
>
> Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
>
> Zur Darstellbarkeit habe ich mir überlegt, dass die V =
> [mm]W_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus W_{k}[/mm] eine Basis bilden
Hallo,
??? ich glaube, Du hast Dir dazu was anderes überlegt, als das, was Du chreibst.
Aber da V die direkte Summe der [mm] W_i [/mm] ist, ist V insbesondere die Summe der [mm] W_i, [/mm] und damit ist v so darstellbar - nach Def. der Summe von Vektorräumen.
und somit
> jeder Vektor v Element V darstellbar ist, aber sicher bin
> ich mir hier nicht.
>
> Zur Eindeutigkeit:
>
> Angenommen: Sei [mm]v\in[/mm] V und [mm]\lambda_{i},\mu_{i} \in \IR[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}w_{i}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{k} \mu_{i}w_{i}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{k} (\lambda_{i}[/mm] -
> [mm]\mu_{i})w_{i}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] wg der linearen Unabhängigkeit von [mm]w_{1} \in W_{1},..., w_{k} \in W_{k}[/mm]
> :
>
> [mm]\lambda_{i}[/mm] = [mm]\mu_{i}[/mm] f.a. i= 1,...,k
>
> 2 [mm]\Rightarrow[/mm] 3:
>
> Vor: Jedes v [mm]\in[/mm] V ist eindeutig darstellbar als v =
> [mm]w_{1}+[/mm] ... [mm]+w_{k}[/mm] mit [mm]w_{i} \in W_{i} [/mm].
>
> Dann folgt schon mal: V = [mm]W_{1}[/mm] + ... + [mm]W_{k}[/mm]
>
> Sei [mm]w_{1}+[/mm] ... [mm]+w_{k}[/mm] = 0 für . Damit haben wir eine
> Darstellung des Nullvektors mit . Es gibt aber noch eine
> weitere, nämlich
>
> 0 = 0+ ... +0.
>
> nach Vor. ist die Darstellung aber eindeutig, also gilt:
> [mm]w_{1}=[/mm] 0 für i = 1, ..., k
>
> 3 [mm]\Rightarrow[/mm] 1:
>
> Vor: V = [mm]W_{1}[/mm] + ... + [mm]W_{k}[/mm] und: Ist [mm]w_{1}[/mm] + ... + [mm]w_{k}[/mm] =
> 0
> > für [mm]w_{i} \in W_{i},[/mm] so folgt [mm]w_{i}[/mm] = 0 [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i
> [mm]\le[/mm]
> > k
>
> Bew: Ist sofort klar weil das folgt schon aus der
> Definition
Die lineare Unabhängigkei beliebiger [mm] w_i \W_i [/mm] mußt Du noch herausarbeiten, also genau begründen, warum aus [mm] \summe\lambda_iw_i=0 [/mm] folgt, daß die [mm] \lambda_i [/mm] alle =0 sind.
Gruß v. Angela
>
> Ist das so richtig oder lieg ich da völlig daneben?
>
> Wär echt nett, wenn ihr nochmal drüber schauen könntet!
>
> Danke
>
>
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