Aufgabe zur Differentialrech < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei M [mm] \subseteq \mathbb{R}. f:\,M \to \mathbb{R} [/mm] sei eine differenzierbare Funktion.
[mm] \left(\log{\Big(1+\big(f(x)\big)^2\Big)}\right)'\, [/mm] |
Hallo.
Ich soll o.g Aufgabe lösen.
Mein bisheriger Lösungsgedanke:
[mm] ((f(x))^2)= [/mm] 2*f(x)*f'(x)
log (a+b)= log a * log b
[mm] \Rightarrow log(1+(f(x))^2) [/mm] = log (1) * log( [mm] (f(x))^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Produktregel für die Ableitung:
(s(x)*t(x))'= s'(x)*t(x)+s(x)*t'(x)
[mm] (log(1)*log(f(x)^2))'=log'(1)*log((f(x))^2)+log((f(x))^2)*log'(1)
[/mm]
[mm] log(f(x)^2) [/mm] ist denke ich selbst auch nochmal eine Verkettung.
f(x)=f(x)
x->y
[mm] h(y)=y^2
[/mm]
y->z
t(z)=log(z)-> t(h(f(x)))
z->a
[mm] \Rightarrow (log{(f(x))^2})'= log'((f(x))^2)*(f(x)^2)'=log'((f(x))^2)*2f(x)*f'(x)
[/mm]
Ist der ANsatz so richtig, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Danke und grüße :)
|
|
| |
|
Hallo und danke für die Antwort.
Mist. Da habe ich es doch tatsächlich verdreht mit dem Plus und der Multiplikation.
Übrigens sehr lustiger Titel :D
Gut dann mache ich mal weiter:
f(x)=ln (x) -> [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f(x)=log_{a}(x) f'(x)=\bruch{1}{b* ln a} [/mm]
Sind die Formeln richtig so? Demnach müsste ich ja die 2. Formel benutzen.
Also ich denke, dass [mm] log((f(x))^2) [/mm] eine Verkettung ist von log(x) und eben [mm] (f(x))^2. [/mm]
Kettenregel: [mm] (log(1+(f(x))^2))'*(1+(f(x))^2)' [/mm] =
[mm] \bruch{1}{10*ln*(1+(f(x))^2)}*2*f(x)
[/mm]
Kann mir nicht vorstellen, dass das so richtig ist.
Wo liegt mein Fehler? Bzw. wie sollte ich da ran gehen.
Bei Logarithmen bin ich mir sehr unsicher.
Viele Grüße und danke im Voraus.
Ps: Nochmals Entschuldigung für das Posten ins falsche Unterforum.
Grüße
|
|
|
| |
|
Servus,
Mann, du hast aber auch "lästige" Aufgaben 
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Mist. Da habe ich es doch tatsächlich verdreht mit dem
> Plus und der Multiplikation.
> Übrigens sehr lustiger Titel :D
>
> Gut dann mache ich mal weiter:
>
> f(x)=ln (x) -> [mm]f'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]f(x)=log_{a}(x) f'(x)=\bruch{1}{b* ln a}[/mm]
Hmm, wenn du statt [mm]b[/mm] mal [mm]x[/mm] schreibst, bin ich einverstanden ...
>
> Sind die Formeln richtig so? Demnach müsste ich ja die 2.
> Formel benutzen.
>
> Also ich denke, dass [mm]log((f(x))^2)[/mm] eine Verkettung ist von
> log(x) und eben [mm](f(x))^2.[/mm]
> Kettenregel: [mm](log(1+(f(x))^2))'*(1+(f(x))^2)'[/mm] =
>
> [mm]\bruch{1}{10*ln*(1+(f(x))^2)}*2*f(x)[/mm]
Nicht ganz, aber fast.
Du musst ja [mm](f(x))^2[/mm] selbst auch wieder mit der Kettenregel verarzten ...
Außerdem muss statt [mm]10\cdot{}\ln[/mm] (was immer das heißen mag) doch [mm]\ln(10)[/mm] dastehen - siehe oben ...
Und bitte niemals [mm]\ln[/mm] "mal", sondern [mm]\ln[/mm] "von", also [mm]\ln(...)[/mm] schreiben.
Was soll das auch bedeuten? Einen Funktionsnamen mit irgendwas zu multiplizieren ist nicht besonders sinnvoll ...
>
> Kann mir nicht vorstellen, dass das so richtig ist.
Beinhahe aber, flicke das eben bei und du hast es ...
>
> Wo liegt mein Fehler? Bzw. wie sollte ich da ran gehen.
> Bei Logarithmen bin ich mir sehr unsicher.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
>
> Ps: Nochmals Entschuldigung für das Posten ins falsche
> Unterforum.
> Grüße
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für die Antwort :).
Ich muss gestehen, dass ich etwas Probleme mit dem Logarithmieren habe, da ich das wie so vieles in Mathe ersteinmal aufarbeiten muss.
Zunächst:
(ln(x))'= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] (log_{a}(x))=\bruch{1}{x* ln (a)} [/mm]
Gestern dachte ich, dass das log(x) allgemeingültig für [mm] log_{10}(x) [/mm] ist, also der Zehnerlogarithmus ist.
Dies ist jedoch nicht der Fall.
In meinem Beispiel ist log(x)=ln(x)
Demnach gilt ja: äußere * innere Ableitung
[mm] \bruch{1}{1+(f(x))^2}*(1+(f(x))^2)'
[/mm]
Denn wie bereits beschrieben ist [mm] (f(x))^2 [/mm] selbst auch eine Verkettung.
[mm] =\bruch{1}{1+(f(x))^2}*2f(x)*f'(x)
[/mm]
[mm] =bruch{2f(x)*f‘(x)}{1+(f(x))^2}
[/mm]
Das ist meine Vermutung. Ist das so richtig?
VIele Grüße und danke im Voraus.
|
|
|
| |
|
Hallo Masseltof,
> Hallo und danke für die Antwort :).
>
> Ich muss gestehen, dass ich etwas Probleme mit dem
> Logarithmieren habe, da ich das wie so vieles in Mathe
> ersteinmal aufarbeiten muss.
>
> Zunächst:
>
> (ln(x))'= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm](log_{a}(x))=\bruch{1}{x* ln (a)}[/mm]
>
> Gestern dachte ich, dass das log(x) allgemeingültig für
> [mm]log_{10}(x)[/mm] ist, also der Zehnerlogarithmus ist.
> Dies ist jedoch nicht der Fall.
>
> In meinem Beispiel ist log(x)=ln(x)
>
> Demnach gilt ja: äußere * innere Ableitung
>
> [mm]\bruch{1}{1+(f(x))^2}*(1+(f(x))^2)'[/mm]
>
> Denn wie bereits beschrieben ist [mm](f(x))^2[/mm] selbst auch eine
> Verkettung.
> [mm]=\bruch{1}{1+(f(x))^2}*2f(x)*f'(x)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2f(x)*f‘(x)}{1+(f(x))^2}[/mm]
>
> Das ist meine Vermutung. Ist das so richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> VIele Grüße und danke im Voraus.
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
Auf gar keinen Fall. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Logarithmusgesetze