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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mo 08.12.2008 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | | Es seien [a,b] ein abgeschlossenes Intervall und f:[a,b] [mm] \to [/mm] [a,b] stetig. Dann gibt es ein x [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(x)=x |
Hallo,
Diese Aufgabe habe ich bisher nur zum Teil gelöst, nämlich folgendermaßen:
1. Fall: x [mm] \in [/mm] ]a,b[. o.B.d.A. f(a)<f(b), ansonsten betrachte -f [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)< x< f(b). Betrachte nun g(x):=f(x)-x [mm] \Rightarrow [/mm] g stetig, Summe von stetigen Abbildungen, g(a)<0 und g(b)>0.
Dann folgt mit dem ZWS (Nullstellensatz), dass g eine Nullstelle hat, also [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] ]a,b[ : f(x)-x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=x
Was ist aber, wenn f(a)=f(b)?
2. Fall: x [mm] \in [/mm] {a,b}. Wie man diesen Fall löst, weiss ich nicht, denn wenn x=a folgt ja, dass g(a)=0, also f(a)=a und g(b)=0, also f(b)=b. Für mich ist hier aber noch nichts bewiesen, da man ja schon davon ausgeht, dass f(x)=x stimmt.
Wie kann man also argumentieren, wenn x [mm] \in [/mm] {a,b}?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Das
g(x):=f(x)-x
ist eine gute Idee
Fall 1: f(a) = a: fertig !
Fall 2: f(b) = b: fertig !
Fall 3: f(a) [mm] \not= [/mm] a und f(b) [mm] \not= [/mm] b: Dann : f(a) >a und f(b) <b
Bringe jetzt g ins Spiel
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mo 08.12.2008 | | Autor: | wee |
Danke für die schnelle Hilfe
> Fall 3: f(a) [mm]\not=[/mm] a und f(b) [mm]\not=[/mm] b: Dann : f(a) >a und
> f(b) <b
also hier wäre dann g(a)>0 und g(b)<0 und mit dem ZWS hätte dann g mindestens eine Nullstelle. Aber wie hilft das weiter?
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Du hattest doch g(x)=f(x)-x definiert. Was sagt Dir also die Existenz einer Nullstelle von g(x)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mo 08.12.2008 | | Autor: | wee |
> Du hattest doch g(x)=f(x)-x definiert. Was sagt Dir also
> die Existenz einer Nullstelle von g(x)?
Dann ist f(x)=x für ein x [mm] \in [/mm] [a,b]. Ich dachte die ganze Zeit, dass f(x)=x gelten muss für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]. Aber das ist ja nicht gefordert.
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