Aufgabe holomorphe Fortsetzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 So 19.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen holomorph in den Nullpunkt fortsetzbar sind:
(1): [mm] $f(z)=\frac{z}{1-e^z}$
[/mm]
(2): [mm] $f(z)=z^2\sin\left(\frac{1}{z}\right)$ [/mm] |
Hallo an alle,
wenn ich mich nicht irre, muss ich doch zeigen, dass
[mm] $\exists\,c\in\IC\;\forall\,(z_n)_{n\in\IN}\subset\IC\backslash\{0\}$ [/mm] mit [mm] $z_n\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty:\;\lim_{n\to\infty}f(z_n)=c$
[/mm]
Dann folgt die Behauptung aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz, oder?
[mm] \textbf{zu (1):} [/mm] Mit der Notation $z=x+iy$ erhalte ich
[mm] $\frac{z}{1-e^z}=\frac{x-xe^x\cos(y)-ye^x\sin(y)}{(1-e^x\cos(y))^2+(e^x\sin(y))^2}+i\cdot\frac{y+xe^x\sin(y)-ye^x\cos(y)}{(1-e^x\cos(y))^2+(e^x\sin(y))^2}$
[/mm]
Irgendwie bringt mich das aber nicht weiter. Mit der Polardarstellung [mm] $z=re^{i\varphi}$ [/mm] erhalte ich auch nichts sinnvolles. Was sollte ich hier tun?
Ich vermute, dass sich beide Funktionen zumindest stetig (und damit auch holomorph) in den Nullpunkt fortsetzen lassen. Bei (1) tippe ich durch 1 und bei (2) durch 0. Liege ich damit richtig?
Tausend Dank und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:10 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen holomorph in den
> Nullpunkt fortsetzbar sind:
>
> (1): [mm]f(z)=\frac{z}{1-e^z}[/mm]
> (2): [mm]f(z)=z^2\sin\left(\frac{1}{z}\right)[/mm]
> Hallo an alle,
>
> wenn ich mich nicht irre, muss ich doch zeigen, dass
>
> [mm]\exists\,c\in\IC\;\forall\,(z_n)_{n\in\IN}\subset\IC\backslash\{0\}[/mm]
> mit [mm]z_n\to 0[/mm] für [mm]n\to\infty:\;\lim_{n\to\infty}f(z_n)=c[/mm]
>
> Dann folgt die Behauptung aus dem Riemannschen
> Hebbarkeitssatz, oder?
Das ist eine Moeglichkeit.
Hier geht's jeweils auch einfacher:
1) Schreibe $1 - [mm] e^z [/mm] = z [mm] \cdot [/mm] g(z)$ mit einer auf [mm] $\IC$ [/mm] holomorphen Funktion $g$ mit $g(0) [mm] \neq [/mm] 0$ (etwa indem du die Potenzreihenentwicklung von [mm] $e^z$ [/mm] anschaust). Dann bekommst du ganz schnell eine Idee ob und wie sich $f$ fortsetzen laesst.
2) Wenn du dich auf der reellen Achse dem Nullpunkt naeherst, hat die Funktion ganz viele Nullstellen. Haben die einen Haeufungspunkt? Was wuerde der Identitaetssatz sagen, wenn sich die Funktion in $0$ fortsetzen lassen wuerde?
Alternativ kannst du bei 2) auch andere Folgen anschauen, die gegen 0 gehen. Weisst du, wie sich der Sinus fuer nicht rein reelle Argumente verhaelt? Vielleicht kannst du da rumexperimentieren und eine Folge von $z$s finden, die gegen 0 geht, aber mit $f(z) [mm] \to \infty$ [/mm] (oder gegen etwas anderes als 0).
Weiterhin kannst du bei 2) sehr schnell eine Laurentreihenentwicklung in 0 hinschreiben, die einen nicht-verschwindenen Hauptteil hat.
Es gibt auch noch andere Loesungsmoeglichkeiten, je nachdem was ihr so an Theorie hattet.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:30 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Teil (1) habe ich mit Deiner Hilfe sofort hinbekommen. Ein sehr eleganter Lösungsweg.
Mit Teil (2) habe ich mich bis jetzt noch nicht beschäftigt.
Danke nochmal und Gruß
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