Aufgabe Scheitelpunktform < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei gegeben die Scheitelpunktform f(x)= [mm] -\bruch{1}{2}(x-a)^{2}+\bruch{a^{2}}{2}
[/mm]
zeigen Sie, dass f(x) ein Maximum bei x=a hat, und dass [mm] f(a)=\bruch{a^{2}}{2} [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Ansatz ist: 1. Ableiten und gleich Null setzen
f'(x) = -(x-a)
0=-x+a
x=a
-----
f(a) = [mm] -0.5(a-a)^{2}+\bruch{a^{2}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{a^{2}}{2} [/mm] , da der erste Term wegfällt.
ist das so korrekt? bin für Hilfe sehr dankbar :)
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> es sei gegeben die Scheitelpunktform f(x)=
> [mm]-\bruch{1}{2}(x-a)^{2}+\bruch{a^{2}}{2}[/mm]
>
> zeigen Sie, dass f(x) ein Maximum bei x=a hat, und dass
> [mm]f(a)=\bruch{a^{2}}{2}[/mm] ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mein Ansatz ist: 1. Ableiten und gleich Null setzen
>
> f'(x) = -(x-a)
>
> 0=-x+a
> x=a
> -----
> f(a) = [mm]-0.5(a-a)^{2}+\bruch{a^{2}}{2}[/mm]
> [mm]=\bruch{a^{2}}{2}[/mm] , da der erste Term wegfällt.
>
>
> ist das so korrekt? bin für Hilfe sehr dankbar :)
Deine Rechnungen sind alle richtig  ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings bezweifle ich, dass ihr das unbedingt so machen soll, wenn ihr doch schon so eine schöne Scheitelpunktform gegeben habt! Aus der kann man nämlich direkt den Scheitelpunkt, den einzigen Extrempunkt einer Quadratischen Funktion, ablesen:
[mm] $S\left(a\Bigg|\bruch{a^{2}}{2}\right)$
[/mm]
Naja: Der Scheitelpunkt ist ein Maximum, weil die Parabel nach unten geöffnet ist (Vorfaktor (-1) vor dem Quadrat!), und hat ja offenbar den y-Wert [mm] a^{2}/2, [/mm] wie ihr zeigen sollt.
Stefan.
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jo, dass ich das aus der Scheitelform ablesen kann, war mir klar
aber da dort stand "zeigen Sie" bin ich davon ausgegangen das auf dem rechnerischen Weg zu lösen. Wäre mein Vorschlag die rechn. Lösung der Aufgabe?
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> jo, dass ich das aus der Scheitelform ablesen kann, war mir
> klar
>
> aber da dort stand "zeigen Sie" bin ich davon ausgegangen
> das auf dem rechnerischen Weg zu lösen. Wäre mein Vorschlag
> die rechn. Lösung der Aufgabe?
Der Nachweis, dass f'(a)=0 ist, genügt als Beweis für
das Vorliegen einer Extremalstelle natürlich nicht.
Um mittels Ableitungen zu zeigen, dass f an der
Stelle a ein (lokales) Maximum annimmt, kannst
du noch zeigen, dass f''(a)<0 ist.
Auch damit wäre aber noch nicht bewiesen, dass
dies auch das absolute Maximum von f ist -
allerdings wissen wir dies natürlich, da f "nur" eine
quadratische Funktion ist. Mit dem Lösungsweg
ohne Differentialrechnung (s. meine andere Antwort)
ergibt sich dies aber unmittelbar.
LG
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sorry, dass ich nochmal nachfrage: also fehlt meinem rechnerischen Weg der (obligatorische) beweis, dass f''(a) < 0 ist? Habe das nicht mehr geschrieben, da es direkt ersichtlich ist: f''(x) = -1 und somit <0 und aus dem Kurvenverlauf ist ersichtlich, dass es das einzige Maximum ist. Wenn ich also f''(x) < 0 einfüge ist mein weg dann i.O.?
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> sorry, dass ich nochmal nachfrage: also fehlt meinem
> rechnerischen Weg der (obligatorische) beweis, dass f''(a) < 0 ist?
Ja.
Habe das nicht mehr geschrieben, da es direkt
> ersichtlich ist: f''(x) = -1 und somit <0
zu einem Beweis gehört aber, dass man auch
solche vermeintlichen "Selbstverständlichkeiten"
nicht ausser Acht lässt
> und aus dem
> Kurvenverlauf ist ersichtlich, dass es das einzige Maximum
> ist. Wenn ich also f''(x) < 0 einfüge ist mein weg dann
> i.O.?
Ich würde nicht nur schreiben
"f''(a)<0"
(und schon gar nicht bloss "f''(x)<0") ,
sondern
"f''(x)=-1<0 für alle x, also f''(a)<0"
Das mag pingelig scheinen, aber in einem mathe-
matischen Beweis ist Pingeligkeit keine Untugend.
LG
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> es sei gegeben die Scheitelpunktform
> [mm]f(x)= -\bruch{1}{2}(x-a)^{2}+\bruch{a^{2}}{2}[/mm]
>
> zeigen Sie, dass f(x) ein Maximum bei x=a hat, und dass
> [mm]f(a)=\bruch{a^{2}}{2}[/mm] ist.
Ein Beweis ohne Ableiten sieht so aus:
1.) [mm]f(a)=\bruch{a^{2}}{2}[/mm]
zeigt man einfach durch Einsetzen von a in die Funktion
2.) Um zu zeigen, dass dieser Wert ein Maximum
darstellt, überlegt man sich:
Falls [mm] x\not=a [/mm] ist, so ist [mm] (x-a)\not=0 [/mm] und [mm] (x-a)^2>0 [/mm] ...
Rest klar, oder ?
LG
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