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Hallo,
ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe in der ich die Richtungsableitung bestimmen soll
(mit der Definition-also nicht mit dem Gradienten.).
Die Funktion ist f(x,y) = xy [mm] +e^{x}. [/mm]
Der Vektor ist v = [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{2}}
[/mm]
Nach Def setze ich nun ein
[mm] \bruch{f(x+ \epsilon v, y+ \epsilon v) - f(x,y) }{\epsilon }
[/mm]
= [mm] \bruch{(x+\epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2}})(y+\epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2}} )+e^{x+\epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - (xy+e^{x})}{\epsilon}
[/mm]
[mm] =\bruch{xy + \bruch{1}{\wurzel[]{2}} \epsilon x + \bruch{1}{\wurzel[]{2}}\epsilon y+ \bruch{1}{2} \epsilon^2 +e^x * e^{ \epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2} }} -xy -e^x}{ \epsilon } [/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel[]{2} } [/mm] (x+y) [mm] +\bruch{1}{2}\epsilon [/mm] + [mm] \bruch{e^{x}e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - e^{x}{ }}{\epsilon}
[/mm]
Und jetzt komm ich nicht mehr weiter. Wie kürze ich das [mm] \epsilon [/mm] weg ?
Da [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0} [/mm] kann ich [mm] \epsilon [/mm] einfach mit 0 setzen?
Aber dann wäre der Grenzwert ja 0. Würde dann nicht der Grenzwert jeder Funktion 0 sein, wenn [mm] \epsilon [/mm] immer gegen 0 konvergiert?
Macht keinen Sinn. Bin froh über Hilfe ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo smurf_neu, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da steckt schon am Anfang ein Fehler drin, leider.
> ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe in der ich die
> Richtungsableitung bestimmen soll
> (mit der Definition-also nicht mit dem Gradienten.).
>
> Die Funktion ist f(x,y) = xy [mm]+e^{x}.[/mm]
> Der Vektor ist v = [mm]\bruch{1}{\wurzel[]{2}}[/mm]
Wahrscheinlich liegt es hierdran. Dieses v ist ja kein Vektor. Ist vielleicht gemeint [mm] $\vec{v}=\vektor{1\\ \wurzel{2}}$?
[/mm]
Mir gehts dabei nicht um [mm] \LaTeX-Kenntnisse [/mm] oder Pingeligkeit, aber diese Unklarheit setzt sich in der Bearbeitung der Aufgabe fort.
Erst einmal muss also die Richtung geklärt werden, in der die Ableitung gesucht wird.
> Nach Def setze ich nun ein
>
> [mm]\bruch{f(x+ \epsilon v, y+ \epsilon v) - f(x,y) }{\epsilon }[/mm]
Nee, die Definition hat da nämlich nicht bei x und y das gleiche v stehen, sondern [mm] $f(x+\varepsilon v_x,y+\varepsilon v_y)$
[/mm]
Wenn da jeweils das gleiche $v$ stünde, könntest Du Dir das zusätzliche [mm] \varepsilon [/mm] sparen und einfach $v$ gegen 0 laufen lassen.
> = [mm]\bruch{(x+\epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2}})(y+\epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2}} )+e^{x+\epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - (xy+e^{x})}{\epsilon}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{xy + \bruch{1}{\wurzel[]{2}} \epsilon x + \bruch{1}{\wurzel[]{2}}\epsilon y+ \bruch{1}{2} \epsilon^2 +e^x * e^{ \epsilon \bruch{1}{\wurzel[]{2} }} -xy -e^x}{ \epsilon }[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel[]{2} }[/mm] (x+y) [mm]+\bruch{1}{2}\epsilon[/mm] +
> [mm]\bruch{e^{x}e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - e^{x}{ }}{\epsilon}[/mm]
>
> Und jetzt komm ich nicht mehr weiter. Wie kürze ich das
> [mm]\epsilon[/mm] weg ?
So wie's jetzt dasteht, gar nicht. Da würde man noch ein bisschen mehr an Umformung vorweg brauchen. Lohnt sich hier aber gerade nicht, denke ich. Lieber später mit den richtigen Werten. 
> Da [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}[/mm] kann ich [mm]\epsilon[/mm]
> einfach mit 0 setzen?
Nein. Das ist ja nicht Sinn einer Grenzwertbestimmung.
> Aber dann wäre der Grenzwert ja 0.
Wer sagt das? Hier wäre der "Grenzwert" irgendwie [mm] \tfrac{0}{0}, [/mm] und das ist nicht definiert, kann also alles von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] sein, sogar Null.
> Würde dann nicht der
> Grenzwert jeder Funktion 0 sein, wenn [mm]\epsilon[/mm] immer gegen
> 0 konvergiert?
Nein, dann wäre ja auch die Ableitung überall 0. Ist sie aber nicht. Du hast da etwas Grundlegendes an der Differentialrechnung und/oder den Grenzwerten falsch verstanden.
> Macht keinen Sinn. Bin froh über Hilfe ;)
Gib doch erstmal den richtigen Vektor heraus...
Grüße
reverend
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Hallo,
vielen Dank für Deine Antwort.
> Wahrscheinlich liegt es hierdran. Dieses v ist ja kein Vektor. Ist vielleicht gemeint $ [mm] \vec{v}=\vektor{1\\ \wurzel{2}} [/mm] $?
Also v ist genau
v = [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{2}} \pmat{ 1 \\ 1}
[/mm]
Angegeben ist noch, dass [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel_{2}= [/mm] 1 ist.
> Nee, die Definition hat da nämlich nicht bei x und y das gleiche v stehen, sondern [mm] f(x+\varepsilon v_x,y+\varepsilon v_y) [/mm]
Sorry, ich versteh dann nicht was für ein [mm] v_x [/mm] und [mm] v_y [/mm] das ist.
Ich hab mich ein bisschen an der Aufgabe
https://matheraum.de/forum/Richtungsableitung_bestimmen/t92863?v=t
orientiert. Da wurde das v eingesetzt... Wenn ich das nicht falsch verstanden habe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 05.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie sich jetzt herausstellt ist [mm] v_x=v_y [/mm] die x und y- Komponenten des Vektors v so dass deinne Rechnung richtig ist.
in deinem letzten Bruch klammer [mm] e^x [/mm] aus und bestimme dann den GW für [mm] \epsilon [/mm] gegen 0
(L#Hopital oder dir Reihe für [mm] exp(\epsilon)
[/mm]
Gruss leduart
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> wie sich jetzt herausstellt ist $ [mm] v_x=v_y [/mm] $ die x und y- Komponenten des Vektors v so dass deinne Rechnung richtig ist.
> in deinem letzten Bruch klammer $ [mm] e^x [/mm] $ aus und bestimme dann den GW für $ [mm] \epsilon [/mm] $ gegen 0
> (L#Hopital oder dir Reihe für $ [mm] exp(\epsilon) [/mm] $
ok, super.
Also da v= [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{2}} \pmat{ 1 \\ 1} [/mm] kein x und y enthält, kann dann einfach immer v eingesetzt werden, richtig?
Ich würde gern dann nun Folgendes schreiben:
[mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} } [/mm] (x+y) [mm] +\bruch{1}{2}\epsilon [/mm] + [mm] \bruch{e^{x}e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - e^{x}{ }}{\epsilon} [/mm]
// nun ausklammern
= [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} } [/mm] (x+y) [mm] +\bruch{1}{2}\epsilon [/mm] + [mm] \bruch{e^{x} (e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - 1)}{\epsilon}
[/mm]
= [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} } [/mm] (x+y) + [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{2}\epsilon [/mm] + [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{e^{x} (e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - 1)}{\epsilon}
[/mm]
Da [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} } [/mm] (x+y) = 0, [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{2}\epsilon [/mm] = 0 und da [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{e^{x} (e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - 1)}{\epsilon} [/mm] = 0,
folgt [mm] \limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{f(x+ \epsilon v, y+ \epsilon v) - f(x,y) }{\epsilon } [/mm] = 0
Geht das so ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Mo 06.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > wie sich jetzt herausstellt ist [mm]v_x=v_y[/mm] die x und y-
> Komponenten des Vektors v so dass deinne Rechnung richtig
> ist.
> > in deinem letzten Bruch klammer [mm]e^x[/mm] aus und bestimme
> dann den GW für [mm]\epsilon[/mm] gegen 0
> > (L#Hopital oder dir Reihe für [mm]exp(\epsilon)[/mm]
>
>
> ok, super.
> Also da v= [mm]\bruch{1}{\wurzel[]{2}} \pmat{ 1 \\ 1}[/mm] kein x
> und y enthält, kann dann einfach immer v eingesetzt
> werden, richtig?
Nein falsch, weil [mm] v_x=1/\sqrt{2} [/mm] und [mm] v_y=1/sqrt{2} [/mm] hast du (wohl zufällig) mit [mm] x+\epsilon/\sqrt{2} [/mm] und [mm] y+\epsilon/sqrt{2} [/mm]
richtig [mm] x+\epsilon*v_x [/mm] und [mm] y+\epsilon*v_y [/mm] hingeschrieben,
ware dein [mm] v=1/\sqrt{2}*(1,2)^T [/mm] dann ware dein Vorgehen falsch.
>
>
> Ich würde gern dann nun Folgendes schreiben:
>
> [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} }[/mm]
> (x+y) [mm]+\bruch{1}{2}\epsilon[/mm] +
> [mm]\bruch{e^{x}e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - e^{x}{ }}{\epsilon}[/mm]
>
>
> // nun ausklammern
>
> = [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} }[/mm]
> (x+y) [mm]+\bruch{1}{2}\epsilon[/mm] + [mm]\bruch{e^{x} (e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - 1)}{\epsilon}[/mm]
>
>
> = [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} }[/mm]
> (x+y) + [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{2}\epsilon[/mm]
> + [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{e^{x} (e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - 1)}{\epsilon}[/mm]
>
>
>
> Da [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{\wurzel[]{2} }[/mm]
> (x+y) = 0,
falsch!
wieso soll das 0 sein? da kommt doch gar kein [mm] \epsilon [/mm] vor?
>[mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{1}{2}\epsilon[/mm]
> = 0
richtig
>und da [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{e^{x} (e^{\epsilon\bruch{1}{\wurzel[]{2}}} - 1)}{\epsilon}[/mm]
> = 0,
>
falsch, wie kommst du darauf?
> folgt [mm]\limes_{\epsilon \rightarrow\ 0} \bruch{f(x+ \epsilon v, y+ \epsilon v) - f(x,y) }{\epsilon }[/mm]
> = 0
>
> Geht das so ?
Nein
Gruss leduart
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