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| Aufgabe | z^12-1=0
- Finde alle Lösungen der Gleichung: Nachweis der Lösungen in Normalform und mit Polarkoordinaten.
- Zeichne die Lösungen in der Gauß´schen Zahlenebene ein
- Zerlege die Gleichung in lineare Faktoren
- Zeige, dass das Produkt zweier Lösungen wieder eine Lösung ergibt.
- Finde eine Lösung, deren Potenzen alle Lösungen der Gleichung durchlaufen.
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Hallo,
ich muss für ein Projekt für Mathe-Informatik 10 Klasse folgende Aufgaben lösen. Die ersten beiden Teilaufgaben hab ich bereits gelöst, allerdings komme ich bei den letzten 3 nicht weiter. Mir fehlt der Ansatz, wie man die Gleichung z^12-1=0 in lineare Faktoren zerlegen soll, sowie der Ansatz für die anderen beiden, vor allem die letzte Aufgabe.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand mit einem Ansatz / Lösungsweg helfen könnte.
Besten Gruß, Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Christian,
also meines Wissens ist die Aufgabe relativ witzlos. Ku bekommst hier gar keine komplexen Lösungen. Die Lösungen sind 1 und -1, da [mm] z^{12}=1 [/mm] .
Zu der Zerlegung in Linearfaktoren schreibe ich dir in ca. ner Stunde noch was, hab grad keine Zeit, vielleicht kann auch ein anderer aushelfen!
Schöne Grüße
Daniel
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Doch, nach dem was wir im Unterricht gemacht haben und dem was u.a. Derive dazu sagt, gibt es sehr wohl einige Lösungen auch mit Imaginär-Teil; Siehe dazu die Anlage.
Lieben Gruß, Christian
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Hallo Christian,
ah ja richtig. Wie dumm von mir, ich hatte da nen Denkfehler! Also wir wollen die Gleichung [mm] z^{12}=1 [/mm] lösen. Die LÖsungen hast du ja schon. Wie bekommt man nun die Darstellung in Linearfaktoren? Durch Ausnutzen der 3. binomischen Formeln. Also
[mm] z^{12}-1=(z^{6})^{2}-1=(z^{6}-1)(z^{6}+1)=((z^{3})^{2}-1)((z^{3})^{2}+1)=(z^{3}-1)(z^{3}+1)((z^{3})^{2}+1)
[/mm]
Jetzt kannst du es weiter zerlegen, indem du genauso weiter machst! Jetzt kommen auch die komplexen Zahlen ins Spiel!
Zum vorletzten Teil: Dies bekommst du raus, indem du das zeigst, was da steht. Multipliziere die Lösungen alle miteinander und schaue, ob sich wieder eine LÖsung ergibt. Mehr kann ich dir da mit 10.-Klasse-Stoff leider nicht bieten. Zum letzten Teil, dies gewinnst du auch einfach durch Ausprobieren. Versuche es mal, ansonsten sag ich sie dir!
Viele Grüße
Daniel
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Vielen Dank für den Tipp, vor allem die vorletzte Aufgabe konnte ich damit lösen. Allerdings komme ich mit der weiteren Zerlegung mit Hilfe der 3. binomischen Formel nicht weiter, es wäre sehr freundlich, wenn sie die Zerlegung konkret weiterführen könnten.
Außerdem brauche ich noch Hilfe bei der letzten Aufgabe ( Hierbei wird eine Lösung gesucht, wo sich nach potenzieren alle 12 Lösungen ergeben)
Besten Dank im Vorraus,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Sa 12.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kennst du die Darstellung der komplexen Zahlen als
[mm] z=r*(cos\phi [/mm] + [mm] i*sin\phi) [/mm] dabei ist [mm] \phi [/mm] der winkel zur x-Achse.
Dann ist z^12=1 ganz leicht. da der Betrag r hier 1 ist ist eine 12-te Wurzel aus 1 =cos360+isin360 einfach cos360/12+isin360/2 die nächste ist cos720/12+isin720/12 usw.
Dazu musst du nur wissen, dass sich beim Multiplizieren die Winkel addieren und der Betrag das Produkt der Beträge ist. wegeen 360/12=30
hast du dann die zwölf verschiedenen Wurzeln mit :
[mm] z_k=cos(k*30°)+i*sin(k*30°) [/mm] k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11. (oder von k von 1 bis 12)
dann siehst du auch, dass du alle durch Multiplikation des z mit k=1 kriegst.
Und auf dem Kreis zeichnest du einfach die "Stunden" der Uhr ein.
natürlich kannst du dann z^12-1 als Produkt aller [mm] z_k-1 [/mm] schreiben.
Gruss leduart
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Ja, das scheint durchaus richtig zu sein mit COS(30*k)+iSIN(30*k).
für k=0 kommt auch 1 raus, was eine Lösung ist.
für alle anderen k=1,2,3 usw ergeben sich jedoch Lösungen doch um einiges neben den tatsächlichen Lösungen liegen.
Die Formel scheint in meinen Augen jedoch richtig zu sein, klingt schon logisch mit Hilfe der Variable k auf alle 12 Lösungen zu kommen, doch wo liegt der Fehler?
Lieben Gruß,
Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 13.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ja, das scheint durchaus richtig zu sein mit
> COS(30*k)+iSIN(30*k).
>
> für k=0 kommt auch 1 raus, was eine Lösung ist.
> für alle anderen k=1,2,3 usw ergeben sich jedoch Lösungen
Wie stellst du das fest? zumindest k=6 ist direkt leicht zu sehen weil -1.
> Die Formel scheint in meinen Augen jedoch richtig zu sein,
> klingt schon logisch mit Hilfe der Variable k auf alle 12
> Lösungen zu kommen, doch wo liegt der Fehler?
Da ist kein Fehler! aber wie hast du denn nachgerechnet? vielleicht liegt da der Fehler?
Gruss leduart
>
> Lieben Gruß,
> Christian
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:14 Di 15.05.2007 | | Autor: | thommie |
kann mir jemand genau erklären, wie das mit der 3. binomischen formel funktioniert? (irgentwie haperts bei mir, ich komm einfach nicht dahinter)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was soll mit der 3. bin. Formel funktionieren?
sie heisst [mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
Warum gibst DU auf Nachfragen keine Antwort und gehst z.Bsp. auf mein post nicht ein, sondern kommst mit ner Frage, die damit nix zu tun hat?
Gruss leduart
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