Aufgabe #84 (ZT) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:07 Do 18.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei $p$ prim und [mm] $p\not= [/mm] 2,5$. Zeige: es gibt unendlich viele Vielfache von $p$, die der Form $111..11$ sind.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 02.09.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
da die Aufgabe schon etwas älter ist, will ich mich mal ranmachen:
> Es sei [mm]p[/mm] prim und [mm]p\not= 2,5[/mm]. Zeige: es gibt
> unendlich viele Vielfache von [mm]p[/mm], die der Form [mm]111..11[/mm] sind.
Ich schränke weiter ein: [mm]p > 5[/mm]
Dann kann man ein Vielfaches np von p im Dezimalsystem genau dann ausschließlich mit Einsen darstellen, wenn man es ausschließlich mit Neunen darstellen kann: man nehme np = 111...1 mit 9 mal, bzw. teile
np = 999...9 durch 9 (falls p [mm] \not= [/mm] 3). (Dasselbe geht dann natürlich auch mit Zweien, Dreien usw...)
Die Darstellung von np mit k Neunen lässt sich aber auch so aufschreiben:
[mm]np = 10^{k}-1 [/mm].
Sei also ein beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] gegeben, das nicht durch 2 oder 5 geteilt wird: Dann ist 10 ein invertierbares Element des Restklassenrings [mm]\IZ/\IZ_{np}[/mm], also gibt es ein k mit [mm]10^{k} = 1[/mm] modulo np.
Dann gibt es aber auch ein m mit [mm]10^{k} = mnp + 1[/mm].
D.h.: das nm-fache von p lässt sich mit k Neunen darstellen, und das nm/9-fache (p war nicht durch 3 teilbar) mit k Einsen.
Da n beliebig war, sind die mit ausschließlich Einsen darstellbaren Vielfachen von p auch nicht beschränkt.
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Toellner |
Lieber Stefan,
Dank für das Lob!
"Beweisidee", weil bei meinem letzten "Beweis" Simon (teletubbyy) eine Beweis-Lücke entdeckt hatte...
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo ihr zwei.
Alternativ kann man es auch so begründen:
Unter den Zahlen $111...11$ gibt es sicher zweie, die den gleichen Rest bei Division durch $p$ lassen. Subtraktion ergibt eine Zahl der Form [mm] $\overbrace{11..11}^{n}00..00$, [/mm] die durch $p$ teilbar ist. Da [mm] $p\not= [/mm] 2,5$, ist dann auch [mm] $\overbrace{11..11}^{n}$ [/mm] durch $p$ teilbar. Konkatenation dieser Zahl mit sich selbst ergibt unendlich viele weitere Vielfache der Form $11..11$.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Toellner |
Das ist ein Beweis!
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