Aufgabe #66 (IrMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 13:12 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man finde alle ganzzahligen Lösungspaare $(m,n)$ von
[mm] $(m^2+n)(n^2+m)=(m+n)^3$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno;
[mm] $(m^2+n)(m+n^2)=(n+m)^3$
[/mm]
Für m = 0 erhällt man die trivialen Lösungen [mm]\{(m,n)|m=0 , n\in\IZ\}[/mm] bzw. analoges für n = 0.
Es sei also im weiteren $n,m [mm] \not= [/mm] 0$
Vereinfacht man nun den obigen Ausdruck:
[mm] $(m^2+n)(m+n^2)=(n+m)^3$
[/mm]
[mm] $\gdw m^2n^2+m^3+n^3+nm=n^3+3n^2m+3nm^2+m^3$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] (m-3)n^2m+(1-3m)nm=0$
[mm] $\gdw n=\frac{3m-1}{m-3}$
[/mm]
Im weiteren betrachte ich nun n als [mm] $f(m)\in\IR$
[/mm]
f ist nun eine ganzrationale Funktion mit einer Pol bei m = 3. sowohl in dem Intervall [mm] $(-\infty;3)$, [/mm] als auch in [mm] $(3;\infty)$ [/mm] ist f jeweils monoton fallend. ferner erhällt man y=3 als waagerechte Asymtote.
Zunächst betrachte ich den Bereich links der Pol (m<3):
Wegen der Monotonie und dem asymtotischen Verhalten, ist nun aber auch n<3.
Da [mm] $(n,m,)\in\IZ^2$ [/mm] überprüfe ich zunächst für $f(m)=2,1,-1,..$ das zugehorige m auf ganzzahligkeit:
f(m)=2: [mm] $2=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m=-5$
f(m)=1: [mm] $1=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m=-1$
Für weitere ganzzahlige Lösungen in [mm] $(-\infty;3)$ [/mm] verbleiben nun nur noch (n,m)=(f(1),1),(f(2),2).
f(1)=-1; f(2)=-5
Jetzt muss ich noch f in [mm] (3;\infty) [/mm] untersuchen:
f(4)=11; f(5)=7; f(6)=17/3<6
Wegen der Monotonie, und Beschränktheit kann es nur noch Lösungen mit f(m)=5,4 geben
f(m)=5: [mm] $5=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m= 7$
f(m)=4: [mm] $4=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m=11$
[mm] L=\{(n,m)|n=0 ,m\in\IZ \, \, ; n\in\IZ , m=0 \,\, ; (n,m)=(2;-5),(1;-1),(-1;1),(-5;2),(11;4),(7;5),(5;7),(7;11)\} [/mm]
Ich hoffe ich hab das jetzt nicht zu umständlich gemacht.
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 19.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Juhu, diesmal habe ich alles nachvollziehen können!
> $ [mm] (m^2+n)(m+n^2)=(n+m)^3 [/mm] $
> Für m = 0 erhällt man die trivialen Lösungen $ [mm] \{(m,n)|m=0 , n\in\IZ\} [/mm] $ bzw. analoges für n = 0.
> Es sei also im weiteren $ n,m [mm] \not= [/mm] 0 $
> Vereinfacht man nun den obigen Ausdruck:
> $ [mm] (m^2+n)(m+n^2)=(n+m)^3 [/mm] $
>$ [mm] \gdw m^2n^2+m^3+n^3+nm=n^3+3n^2m+3nm^2+m^3 [/mm] $
> $ [mm] \gdw [/mm] (m-3)n^2m+(1-3m)nm=0 $
> $ [mm] \gdw n=\frac{3m-1}{m-3} [/mm] $
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Zunächst betrachte ich den Bereich links der Pol (m<3):
> Wegen der Monotonie und dem asymtotischen Verhalten, ist nun aber auch n<3.
> Da $ [mm] (n,m,)\in\IZ^2 [/mm] $ überprüfe ich zunächst für $ f(m)=2,1,-1,.. $ das zugehorige m auf ganzzahligkeit:
> f(m)=2: $ [mm] 2=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m=-5 $
> f(m)=1: $ [mm] 1=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m=-1 $
> Für weitere ganzzahlige Lösungen in $ [mm] (-\infty;3) [/mm] $ verbleiben nun nur noch (n,m)=(f(1),1),(f(2),2).
> f(1)=-1; f(2)=-5
> Eine schöne Idee! Klasse!
> Jetzt muss ich noch f in $ [mm] (3;\infty) [/mm] $ untersuchen:
> f(4)=11; f(5)=7; f(6)=17/3<6
> Wegen der Monotonie, und Beschränktheit kann es nur noch Lösungen mit f(m)=5,4 geben
> f(m)=5: $ [mm] 5=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m= 7 $
> f(m)=4: $ [mm] 4=\frac{3m-1}{m-3} \gdw [/mm] m=11 $
Schön gemacht, Samuel!
> Ich hoffe ich hab das jetzt nicht zu umständlich gemacht
Als ich die Aufgabe löste, habe ich folgendes getan: wie du habe ich bis zu $ [mm] n=\frac{3m-1}{m-3} [/mm] $ umgeformt. Betrachten wir nun den Bruch rechts. Sei $p$ ein Primeiler von $m-3$ und von $3m-1$, so ist er auch Teiler von $3m-1-3(m-3)=8$, d.h. $p=2$; $m-3$ ist also Zweierpotenz, d.h. es gibt ein $x$ mit [mm] $m=2^x+3$. [/mm] Ebenso erhalten wir [mm] $n=2^y+3$. [/mm] Setzen wir dies in obige Gleichung ein, erhalten wir nach kurzen Umformungen [mm] $2^{x+y}=8$. [/mm] Durchtesten der daraus resultierenden Fälle liefert das gewünschte Ergebnis.
Man hätte sich die Sache mit der Zweierpotenz auch noch ein wenig erleichtern können, denn die Argumentation bezüglich der Primteiler von Zähler und Nenner kann natürlich auch auf beliebige Teiler, und, da der Bruch ganzzahlig ist, somit auch auf $m-3$ selbst angewandt werden. Somit muss $m-3=1,2,4,8$ gelten, womit man direkt bei den zu untersuchenden Fälle wäre.
Noch schöner geht es allerdings so: wie man leicht nachrechnet, ist die Anfangsbedingung für [mm] $mn\not= [/mm] 0$ zu $(m-3)(n-3)=8$ äquivalent; der Rest ist nun einfach.
Damit wäre diese Aufgabe zu Genüge diskutiert :)
Liebe Grüße,
Hanno
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