Aufgabe #55 (DMO),(ZT) < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:49 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Noch einmal leichte Kost, aber immerhin war es einmal Landesrunde:
Man bestimme alle ganzen Zahlen $x,y$ mit [mm] $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} [/mm] = [mm] \frac{1}{2003}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno.
> Noch einmal leichte Kost, aber immerhin war es einmal
> Landesrunde:
>
> Man bestimme alle ganzen Zahlen [mm]x,y[/mm] mit
> [mm]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{2003}[/mm].
I [mm]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{2003}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2003}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{xy}{x+y} = 2003[/mm]
II [mm]xy = 2003x+2003y[/mm]
Sei nun [mm]x=x'+2003,y=y'+2003[/mm]
[mm]2003y+x'y=2003^2+2003x'+2003y[/mm]
[mm]x'(2003+y')=2003^2+2003x'[/mm]
[mm]x'y'=2003^2[/mm]
2003 ist prim. Es ergeben sich folgende Paare (x',y'):
[mm](1,2003^2),(-1,-2003^2),(2003,2003),(-2003,-2003),(2003^2,1),(-2003^2,-1)[/mm]
Daraus folgen diese Lösungspaare (x,y) für II:
[mm](2004,2003\cdot{}2004),(2002,-2003\cdot{}2002),(4006,4006),(0,0),(2003\cdot{}2004,2004),(-2003\cdot{}2002,2002)[/mm]
Alle Paare ausser (0,0) sind auch Lösungen für I.
MfG
Jan
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