Aufgabe #48 (IMC) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:19 Do 07.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Sei [mm] $f\in C^{1} [/mm] (a,b)$, ferner [mm] $\limes_{x\to a+} f(x)=+\infty, \limes_{x\to b-} f(x)=-\infty$ [/mm] und [mm] $f'(x)+f^2(x)\geq [/mm] -1$ für [mm] $x\in [/mm] (a,b)$. Zeige, dass dann [mm] $b-a\geq\pi$ [/mm] gilt und gib ein Beispiel an, für welches [mm] $b-a=\pi$ [/mm] gilt.
So, das reicht für's Erste. Ich bin mal gespannt, ob die Aufgaben hier gelöst werden - eine Abwechslung ist es aber schon - finde ich ;)
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Vergil |
Hallo Hanno,
am Besten funktioniert es, wenn man rückwärts arbeitet:
[mm] \ f ' (x) + \ f^2(x) \ge -1 \gdw[/mm]
[mm] \ f ' (x) + \ f^2(x) + 1 \ge 0 \gdw [/mm]
[mm] \ f ' (x) + \ f^2(x) + 1 \ge 0 [/mm] nun teilt man diese Ungleichung durch [mm] \ f^2(x) + \ 1 [/mm] man erhält
[mm] \left( \bruch{f ' (x)}{f^2(x) + \ 1} \right) + \ 1 \ge 0[/mm]
Nun betrachtet man die Gleichung [mm] \left( \bruch{f ' (x)}{f^2(x) + \ 1} \right) + \ 1 = 0 [/mm]
Jetzt versuche ich diese Gleichung zu integrieren:
[mm] \left( \bruch{df (x)}{f^2(x) + \ 1} \right) + \ dx = 0 [/mm]
[mm]\integral_{0}^{f (x)} {\bruch{df (x)}{f^2(x) + \ 1}} + \integral_{0}^{x} {dx} = 0 [/mm]
Ein Blick in die Formelsammlung erleichtert das Finden der Stammfunktion des linken Summanden:
[mm]\arctan f (x) + \ x = 0 [/mm].
Hinweis: Ich habe das dumpfe Gefühl, dass meine Integration nicht korrekt ist.
O.B.d.A. ist [mm]a \ge b [/mm] und es folgt mit den Grenzwerten:
[mm]\limes_{x\to a+} f(x)=+\infty, \limes_{x\to b-} f(x)=-\infty[/mm]
[mm]\ f (a) \le f (b) \gdw \- \bruch{\pi}{2} + a \le + \bruch{\pi}{2} + a[/mm]
So jetzt mach ich mal Schluss, den Rest kann jemand anderes machen oder ich morgen früh.
Das war mein erster Beitrag.
Gute Nacht Valentin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Valentin!
Eine tolle Idee, die du da hattest ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") . Ich habe deinen Ansatz mal zuende geführt:
> am Besten funktioniert es, wenn man rückwärts arbeitet:
> $ \ f ' (x) + \ [mm] f^2(x) \ge [/mm] -1 [mm] \gdw [/mm] $
> $ \ f ' (x) + \ [mm] f^2(x) [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] $
> $ \ f ' (x) + \ [mm] f^2(x) [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 0 $ nun teilt man diese Ungleichung durch $ \ [mm] f^2(x) [/mm] + \ 1 $ man erhält
> $ [mm] \left( \bruch{f ' (x)}{f^2(x) + \ 1} \right) [/mm] + \ 1 [mm] \ge [/mm] 0 $
> Nun betrachtet man die Gleichung $ [mm] \left( \bruch{f ' (x)}{f^2(x) + \ 1} \right) [/mm] + \ 1 = 0 $
Bleiben wir doch bei [mm] $\geq [/mm] 0$.
> Jetzt versuche ich diese Gleichung zu integrieren:
>$ [mm] \left( \bruch{df (x)}{f^2(x) + \ 1} \right) [/mm] + \ dx = 0 $
> $ [mm] \integral_{0}^{f (x)} {\bruch{df (x)}{f^2(x) + \ 1}} [/mm] + [mm] \integral [/mm] {dx} = 0 $
Die Grenzen sind nicht sinnvoll, lass sie einfach weg, d.h.
$ [mm] \integral{\bruch{f' (x)}{f^2(x) + \ 1}} [/mm] + [mm] \integral [/mm] {dx} [mm] \geq [/mm] 0 $
> Ein Blick in die Formelsammlung erleichtert das Finden der Stammfunktion des linken Summanden:
> $ [mm] \arctan [/mm] f (x) + \ x = 0 $.
Das wiederum ist richtig und wohl der entscheidende Schritt gewesen. Wir haben also
$ [mm] \arctan [/mm] f (x) + \ x [mm] \geq [/mm] 0 $.
> Hinweis: Ich habe das dumpfe Gefühl, dass meine Integration nicht korrekt ist.
Passt schon ;)
> O.B.d.A. ist $ a [mm] \ge [/mm] b $ und es folgt mit den Grenzwerten:
> $ [mm] \limes_{x\to a+} f(x)=+\infty, \limes_{x\to b-} f(x)=-\infty [/mm] $
> $ \ f (a) [mm] \le [/mm] f (b) [mm] \gdw \- \bruch{\pi}{2} [/mm] + a [mm] \le [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + a $
Das macht für mich jetzt weniger Sinn, mach es doch so:
Zuerst lässt du in obiger Ungleichung $x$ gegen $a$ streben. Du erhältst
[mm] $\frac{\pi}{2}+a\geq [/mm] 0$.
Nun lassen wir $x$ gegen $b$ gehen, und erhalten
[mm] $-\frac{\pi}{2}+b\geq [/mm] 0$
Subtraktion beider Gleichungen ergibt
[mm] $b-a\geq \pi$,
[/mm]
was zu zeigen war!
> So jetzt mach ich mal Schluss, den Rest kann jemand anderes machen oder ich morgen früh.
> Das war mein erster Beitrag.
Suuuper!  Klasse Idee mit dem Arcustangens *durchdiegegendhüpft* :)
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hanno!
Muß es nicht formal korrekt heißen: [mm]\arctan f (x) + \ x \geq \ \red{c} [/mm] ??
Auf den Rest des Nachweises hat die Integrationskonstante aber keinen Einfluß, da diese ja bei der Subtraktion der beiden Gleichungen wieder eliminiert wird ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Thorsten!
Ja, da hast du wohl recht.
Danke!
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
