Aufgabe #41 (Zahlentheorie) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:18 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man finde alle Quadrupel (n,a,b,c) positiver, ganzer Zahlen, für die [mm] $2^n=a!+b!+c!$ [/mm] gilt!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Ich werde duch seccsesive Eingrenzug der möglichen Lösungen versuchen die gesuchten Quadrupel zu bestimmen:
[mm] $2^n=a!+b!+c!$ [/mm] Bei $a,b,c [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 3|a!+b!+c!$
Es sei also o.B.d.A. $a [mm] \le [/mm] 2$ und [mm] $a\le b\le [/mm] c$
Fall I: a = 2
=============
[mm] $2^n=2+b!+c! \gdw 2(2^{n-1}-1)=b!+c!$
[/mm]
Mit [mm] $b,c\ge [/mm] 4$ würde man nach beidseitiger Division durch 2 einen Ausdrück der Art "ungerade"="gerade" und damit ein Widerspruch durch die Parität erhalten.
Es ist also [mm] $b\le [/mm] 3$
i)a=2 ; b=3:
[mm] $2^n=2+6+c!=8+c! \gdw 8(2^{n-3}-1)=c!$
[/mm]
Ab c=6 kann man den Term wider durch 8 "kürzen", sodass rechts ein gerader Ausdruck stehen bleibt --> Widerspruch durch unterschiedliche Parität.
c=3 --> keine Lösung
c=4 --> [mm] $2!+3!+4!=2^5$
[/mm]
c=5 --> [mm] $2!+3!+5!=2^7$
[/mm]
ii)a=2 ; b=2:
[mm] $2^n=2+2+c!=4+c! \gdw 4(2^{n-2}-1)=c!$
[/mm]
Ab c=4 Paritätswiderspruch (s.o.).
c=2 --> keine Lösung
c=3 --> keine Lösung
Fall II: a = 1
==============
[mm] $2^n-1=b!+c!$ [/mm] Bei $b,c [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \Rightarrow 2|b!+c!=2^n-1$
[/mm]
Es ist also a=b=1:
[mm] $2^n=1+1+c! \gdw 2(2^{n-1}-1)=c!$
[/mm]
Ab c=4 Paritätswiderspruch:
c=1 --> keine Lösung
c=2 --> [mm] $1!+1!+2!=2^2$
[/mm]
c=3 --> [mm] $1!+1!+3!=2^3$
[/mm]
Damit müsste ich jetzt alle Lösungen erfasst habe:
(a,b,c,n)=(1,1,2,2); (1,1,3,3,); (2,3,4,5); (2,3,5,7)
von Permutationen von a,b,c sei abgesehen.
Gruß Samuel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 17.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Wunderbar!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo.
> Man finde alle Quadrupel (n,a,b,c) positiver, ganzer
> Zahlen, für die [mm]2^n=a!+b!+c![/mm] gilt!
Ist [mm]a,b,c \ge 3[/mm] so gilt [mm]3|a!+b!+c![/mm].
Also ist o.b.d.A. [mm]a \le 2[/mm].
(1) [mm]a=1[/mm]
Damit a!+b!+c! gerade ist, ist o.b.d.A. [mm]b=1[/mm]
Mit c=2 ergibt sich 4, mit c=3 8.
Für [mm]c \ge 4[/mm] ist [mm]2+c!=2(1+\frac{c!}{2})[/mm] und [mm](1+\frac{c!}{2})[/mm] ungerade.
(2) [mm]a=2[/mm]
Wiederum ist b,c=1 eine Lösung. Mit [mm]b,c \ge 2[/mm] ergibt sich [mm]2+b!+c!=2(1+\frac{b!}{2}+\frac{c!}{2})[/mm].
[mm]\frac{b!}{2}+\frac{c!}{2}[/mm] muss ungerade sein, also ist o.b.d.A. b=3, [mm]c \ge 4[/mm].
[mm]c=4 \Rightarrow a!+b!+c!=32[/mm]
[mm]c=5 \Rightarrow a!+b!+c!=128[/mm]
Für [mm]c \ge 6[/mm] ist [mm]2(1+3+\frac{c!}{2})=8(1+\frac{c!}{8})[/mm]
[mm](1+\frac{c!}{8})[/mm] ist ungerade.
Abgesehen von Permutationen müssten also
(1,1,2), (1,1,3), (2,3,4), (2,3,5) alle 3-Tupel (a,b,c) sein, für die sich eine 2er Potenz ergibt (wenn ich nichts übersehen habe).
MfG
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Di 17.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jan.
> (1) $ a=1 $
> Damit a!+b!+c! gerade ist, ist o.b.d.A. $ b=1 $
> Mit c=2 ergibt sich 4, mit c=3 8.
> Für $ c [mm] \ge [/mm] 4 $ ist $ [mm] 2+c!=2(1+\frac{c!}{2}) [/mm] $ und $ [mm] (1+\frac{c!}{2}) [/mm] $ ungerade.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wiederum ist b,c=1 eine Lösung. Mit $ b,c [mm] \ge [/mm] 2 $ ergibt sich $ [mm] 2+b!+c!=2(1+\frac{b!}{2}+\frac{c!}{2}) [/mm] $.
Den Fall [mm] $a=2,b=1,c\geq [/mm] 2$ lässt du aus. Er führt allerdings zu keiner Lösung.
> $ [mm] \frac{b!}{2}+\frac{c!}{2} [/mm] $ muss ungerade sein, also ist o.b.d.A. b=3, $ c [mm] \ge [/mm] 4 $.
Den Fall $b=2$ lässt du aus. Für ihn ist $a!+b!+c!=4+c!=4+c!$, was für $c=2,3$ zu keiner Lösung, für [mm] $c\geq [/mm] 4$ zu einem Widerspruch führt.
>
> $ c=4 [mm] \Rightarrow [/mm] a!+b!+c!=32 $
> $ c=5 [mm] \Rightarrow [/mm] a!+b!+c!=128 $
> Für $ c [mm] \ge [/mm] 6 $ ist $ [mm] 2(1+3+\frac{c!}{2})=8(1+\frac{c!}{8}) [/mm] $
> $ [mm] (1+\frac{c!}{8}) [/mm] $ ist ungerade.
> Abgesehen von Permutationen müssten also
> (1,1,2), (1,1,3), (2,3,4), (2,3,5) alle 3-Tupel (a,b,c) sein, für die sich eine 2er Potenz ergibt (wenn ich nichts übersehen habe).
Schön!
Liebe Grüße,
Hanno
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