Aufgabe #40 (GEO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 08:47 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei ABC ein gleichseitiges Dreieck und P ein beliebig gewählter Punkt in P. Ferner seien PE,PF,PG die Lote auf die Dreiecksseiten. Man zeige, dass, unabhängig davon, wie P gewählt wird, [mm] $\frac{PE+PF+PG}{AB+BC+CA}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mo 16.05.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Das ist eine einfache Aufgabe.
Ich nehme mal an, es ist gemeint, dass P innerhalb des Dreiecks ist.
Die Summe der Lote ist gleich der Dreieckshöhe: [mm] $PE+PF+PG=\frac{\sqrt3}{2}s$, [/mm] wobei s die Seitenlänge des Dreiecks ist. Das ist eine kleine Flächenüberlegung, verbindet man P mit den Ecken, so lässt sich die Dreiecksfläche berechnen durch: [mm] $F=\frac12 PE\cdot s+\frac [/mm] 12 [mm] PF\cdot s+\frac12 PG\cdot s=\frac12 h\cdot [/mm] s$
Die Summe der drei Seiten ist 3s. Daher erhält man [mm] $\frac{PE+PF+PG}{AB+BC+CA}=\frac{h}{3s}=\frac{1}{2\sqrt 3}$
[/mm]
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Schön 
Liebe Grüße,
Hanno
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