Aufgabe #39 (GEO&IMO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 14:21 So 15.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es seien A,B,C,D,E,F die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechseckes. Ferner seien die Punkte M,N auf den Seiten AC bzw. CE so gewählt, dass [mm] $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$ [/mm] gilt. Man finde $r$, wenn die Punkte M,N,B auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man erinnere sich an den Satz von Menelaus: es sei ein Dreieck ABC und Punkte D,E,F auf den [ggf. verlängerten] Seiten AB,BC,CA resp. gegeben. Genau dann sind D,E,F kolinear, wenn [mm] $\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}=-1$ [/mm] gilt.
Im Falle dieser Aufgabe reicht es, den Betrag der beiden Seiten zu nehmen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Sa 21.05.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo an alle!
Hallo Hanno
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> Es seien A,B,C,D,E,F die Eckpunkte eines regelmäßigen
> Sechseckes. Ferner seien die Punkte M,N auf den Seiten AC
> bzw. CE so gewählt, dass [mm]\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r[/mm]
> gilt. Man finde [mm]r[/mm], wenn die Punkte M,N,B auf einer
> gemeinsamen Geraden liegen.
>
Den Schnittpunkt der Geraden AB und EC bezeichnen ich mit P. Dann schneidet die Gerade BMN das Dreieck APC in seinen Seiten oder Verlängerungen der Seiten.
Mit Menelaos (ohne Vorzeichen, d.h. ohne Berücksichtigung von inneren oder äusseren Teilpunkten) gilt dann: [mm] $\frac{BA}{BP}\cdot\frac{NP}{NC}\cdot\frac{MC}{MA}=1$.
[/mm]
Weiter ist BP=2AB (Dreieck BPC ist eine 30°-60°-90°-Dreieck), also ist [mm] $\frac{BA}{BP}=\frac12$.
[/mm]
Wenn [mm] $\frac{AM}{AC}=r$, [/mm] dann [mm] $\frac{MC}{AC}=1-r$ [/mm] und dann [mm] $\frac{MC}{MA}=\frac{1-r}{r}$
[/mm]
Weil ACP ein gleichschenkliges Dreieck ist, gilt CP=CA=CE, daher ist [mm] $\frac{NP}{NC}=\frac{NC+CP}{NC}=1+\frac{CE}{NC}=1+\frac 1r=\frac{1+r}{r}$.
[/mm]
Alles eingesetzt ergibt: [mm] $\frac 12\cdot \frac{1+r}{r}\cdot \frac{1-r}{r}=1$ [/mm] mit der positiven Lösung [mm] $r=\frac{1}{\sqrt 3}$
[/mm]
mfG Moudi
>
> Liebe Grüße,
> Hanno
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